Calculo y Geometría Analítica . Las Cónicas

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ASIGNATURA:

Calculo y Geometría Analítica I

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ESTUDIANTE:

Joster Hernández García

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MATRICULA:

A0011335

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PROFESOR:

 Enrique Pacheco Martínez

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TEMA:

Las Cónicas

Las Cónicas:

Las secciones cónicas (o simplemente cónicas) son todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano, cuando ese plano no pasa por el vértice del cono. Existen cuatro tipos de secciones cónicas: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

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La Circunferencia: Es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Los elementos de la circunferencia son:

1. Centro: Es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

1. Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

1. Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro mide el doble que el radio.

1. Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

1. Arco:  Es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

1. Tangente: Es una línea recta que toca la circunferencia en un solo punto.

1. Secante: Es una línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

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Para escribir la ecuación canónica de la circunferencia a partir de elementos dados, debemos conocer las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia. Una vez que tenemos estos elementos, podemos utilizar la siguiente fórmula:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Donde:

• (h, k) es el centro de la circunferencia.
• r es el radio de la circunferencia.

Para aplicar la fórmula, simplemente sustituimos los valores de las coordenadas del centro y la longitud del radio en la ecuación y la simplificamos. Por ejemplo, si el centro de la circunferencia es (3, -2) y el radio es 5, la ecuación canónica de la circunferencia sería:

(x - 3)2 + (y + 2)2 = 25

Es importante recordar que la ecuación canónica de la circunferencia representa todas las coordenadas (x, y) que se encuentran a una distancia r del centro de la circunferencia.

• Ecuación general de la circunferencia a partir de la ecuación canónica:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

Consideramos que: A = –2h , B = –2k , C = h2 + k2 – r2 

Por lo tanto, la ecuacion general de la circunferencia se puede escribir de la siguiente forma:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

• Ecuacion canonica de la circunferencia a partir de la ecuacion general:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

x2 + Ax + y2 + By = – C

x2 + Ax +  + y2 + By +  = – C +  + [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

( x +  )2 + ( y +  )2 = – C +  + [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Consideramos que:  h = –   , k =  –   , r2 = – C +  + [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Por lo tanto, la ecuacion canonica de la circunferencia se puede escribir de la siguiente forma:

( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

• Encuentren la ecuación canónica de la circunferencia a partir de la siguiente ecuación general y determinen los valores de h, k y r.

 x2 + y2 + 18x + 4y + 76 = 0

x2 + 18x + y2 + 4y = –76

x2 + 18x + 2 + y2 + 4y + 2 = 2 + 2 – 76 [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

x2 + 18x + 81 + y2 + 4y + 4 = 81 + 4 – 76

(x + 9)2 + (x + 4)2 = 9

Respuesta: La ecuación canónica de la circunferencia es (x + 9)2 + (x + 4)2 = 9                             y los valores de h, k y r son:  h = – 9  ,  k =  – 4  ,  r =  = 3[pic 20]

• Determinen si el punto (6, -2) es interno o externo a la circunferencia

(x + 3)2 - (y - 2)2 = 4 

Para determinar si el punto (6, -2) se encuentra dentro o fuera de la circunferencia, reemplazamos las coordenadas en la ecuación de la circunferencia:

(6 + 3)2 – (– 2 – 2)2  = 92 – 42  = 65

El resultado de 65 es mayor que el radio al cuadrado, que es 22 = 4, por lo que el punto (6, -2) se encuentra fuera de la circunferencia.

Respuesta: podemos concluir que el punto (6, -2) es externo a la circunferencia

(x + 3)2 – (y – 2)2 = 4

La Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Los elementos de la elipse son:

1. Focos: Son los puntos fijos de la elipse, los cuales se ubican en el eje mayor. Los focos son usados para definir a la elipse. Usualmente, usamos la F para denotar a los focos.

1. Eje mayor: Es el diámetro más largo de la elipse. Los ejes se extienden desde un lado de la elipse hasta el otro lado y pasan por el centro. La distancia total desde un foco hasta cualquier punto en la elipse más la distancia desde ese punto hasta el otro foco es igual a la longitud del eje mayor.

1. Eje menor: Es el diámetro más corto de la elipse. También podemos definir al eje menor como el bisector (línea que divide a otra en dos partes iguales) perpendicular del eje mayor.

1. Centro: Es el punto de intersección de los ejes menor y mayor. Podemos definirlo como el centro de simetría de la elipse.

1. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con el eje mayor. Los vértices son los puntos extremos del eje mayor.

1. Covértices: Son los puntos de intersección de la elipse con el eje menor. También podemos definir a los covértices como los puntos extremos del eje menor.

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Si el eje mayor es horizontal, entonces la ecuación de la elipse es de la forma:

 + = 1[pic 22][pic 23]

Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la elipse es de la forma:

 + = 1[pic 24][pic 25]

Donde:

• (h, k) es el centro de la elipse.
•  a es la mitad del eje mayor y b es la mitad del eje menor.

 Dada una gráfica de la elipse, determinar los focos y escribir su ecuación canónica y general.

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