GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

CURSO DE CALCULO I.                         ESIC-ESGE FIAG - UNJBG

SEMESTRE ACADEMICO 2018 - I

UNIDAD 01                        GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

1. SISTEMA COORDENADO LINEAL. - En Números Reales se le conoce como Recta Numérica. Es la correspondencia biunívoca que se establece entre los puntos de una recta y el conjunto de números reales.

• Los puntos de denotan con letras mayúsculas (P, Q, R; ...) y los números reales con letras minúsculas (x, y, z, ...) y se llaman coordenadas.
• Un punto P de coordenada x se denota por: P(x). Un punto Q de coordenada x se denota por Q(x), etc.

[pic 1]

Gráfica

• Un segmento dirigido de P1(x1) a P2(x2) es una porción de recta comprendida entre estos puntos, donde P1 es el punto inicial y P2 es el punto final. Se le denota por P1P2.

[pic 2]

Gráfica

• La longitud de un segmento dirigido de P1(x1) a P2(x2) es el número real dado por el número positivo:                 [pic 3] ;

Mientras que si escribimos [pic 4], su longitud será dada por: [pic 5].

Es decir se cumple que:         [pic 6] .

• La distancia entre los puntos P1(x1) a P2(x2) es dado por el valor absoluto de su longitud, es decir por:        [pic 7]

Además se cumple que:         [pic 8]

Ejemplo. Hallar las longitudes y la distancia entre los puntos:

a. P1(5) y P2(– 13)                b. P1(–15) y P2(–3)

• División de un segmento en una razón dada. Sean P1(x1) y P2(x2) los extremos de un segmento dirigido; la coordenada x de un punto P que divide al segmento P1P2 en la razón dada  [pic 9] es dada por:         [pic 10].
• Observaciones:

i) Si r=1 entonces el punto P(x) es el punto medio entre los puntos P1(x1) y P2(x2) y queda dado por:                 [pic 11]

        ii) Si r>0, P(x) es un punto que está entre P1(x1) y P2(x2).

        iii) Si r<0, P(x) es un punto que está fuera de entre P1(x1) y P2(x2).

iv) Si el segmento sería P2P1 entonces la razón será  [pic 12] y la coordenada x del punto de división P será determinada por:           [pic 13]

Ejemplo 1. Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son: P1(–8 ) y P2(7).

Ejemplo 2. Hallar el punto de trisección del segmento cuyos extremos son: P1(4) y P2(–23), P1 a P2 .

Ejemplo 3. Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P1(4) y P2(–6). Hallar la razón r de P2 a P1 en que el punto P(2) divide a este segmento.

1.2. SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR. - Es la correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y el conjunto de pares ordenados de números reales. Para denotar un punto cualquiera P de coordenadas (x;y) escribiremos P(x;y) donde la primera componente “x” es llamada abscisa y se toma en el eje real X, y la segunda coordenada “y” es llamada ordenada y se le toma en el eje real Y.

• Segmento dirigido. Se llama segmento dirigido de extremos P1(x1;y1) y P2(x2;y2), de P1 a P2, a la porción de recta comprendida entre estos dos puntos, donde P1 es el punto inicial y P2 es el punto final.

• Del mismo modo, se llama segmento dirigido de extremos P1(x1;y1) y P2(x2;y2), de P2 a P1, a la porción de recta comprendida entre estos dos puntos, donde P12 es el punto inicial y P1 es el punto final.

[pic 14]

 Gráfica

• Distancia entre dos puntos. La distancia entre los puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2) es dada por:         [pic 15].

Ejemplo. Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos (–3; –1), (0;3) y (4; –1).

• División de un segmento en una razón dada. Sean los puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2), los extremos de un segmento dirigido P1P2, entonces las coordenadas (x;y) del punto P que divide a este segmento en la razón dada [pic 16]son dadas por:

[pic 17]        [pic 18]

[pic 19]

Gráfica

• Observaciones.

i) Si r=1, el punto P(x;y) es el punto medio del segmento P1P2 y las coordenadas son obtenidas de:         [pic 20]                                                        [pic 21].

ii) Si r>0, el punto P(x;y) es un punto que está dentro del segmento P1P2 .

iii) Si r<0, el punto P(x;y) es un punto que está fuera del segmento P1P2 .

iv) Si el segmento sería P2P1 entonces la razón será  [pic 22] y las coordenadas “x” e “y” serán dadas por:[pic 23],[pic 24].

Ejemplo. Los extremos de un segmento son los puntos P1(2;4) y P2(8;–4). Hallar el punto P(x;y) que divide a este segmento en dos partes de modo que [pic 25]=0,25.

Ejemplo2. Uno de los extremos de un segmento es el punto A(3;–4) y su punto medio es el punto C(1;3), hallar el otro punto extremo.

        1.3 ANGULOS, PENDIENTES, PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD.

• ANGULOS.

[pic 26]

        Figura (a)                        Figura (b)                Figura (c)

Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al que está formado por los lados que se alejan del vértice. Figuras (a) y (b).

Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por la recta y la parte positiva del eje X, cuando dicha recta está dirigida hacia arriba. Figura (c).

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