Características y tipos de funciones

Tema 2. Características y tipos de funciones

2.1 Notación

Como se introdujo en el tema 1, las funciones se expresan comúnmente por su representación algebraica. Previamente vimos algunos ejemplos de esta representación y todas ellas tienen en común lo que formalmente definiremos como notación de funciones. Esta notación presenta las siguientes características:

Las funciones se escriben horizontalmente comenzando de izquierda a derecha.

Se comienza por escribir el nombre de la función por medio de una letra minúscula, y se acompaña de unos paréntesis que encierran a la variable independiente de la función en cuestión.

Después se sigue por un signo de igualdad, que establece la relación directa que existe entre los dos conjuntos de elementos que involucra la función.

Finalmente del lado izquierdo se indica la expresión algebraica o fórmula que transforma los valores que adquiere la variable independiente en los valores que adquiere la variable dependiente.

Observa que en ningún momento nos limitamos a referirnos a y a , ya que éstas son tan solo un ejemplo de notación de funciones. Algunos otros ejemplos de funciones pueden ser:

(Recuerda que una función no se limita a multiplicar por constantes o elevar a cierta potencia, sino que puede haber funciones que involucren divisiones, raíces cuadradas, logaritmos o valores absolutos, por mencionar algunos operadores).

2.2 Dominio y Rango

Un error muy común es pensar que la función es válida para cualquier número que se pueda introducir en ella, por lo que una representación algebraica suele acompañarse por una expresión que indique el dominio de la función. Recuerda que el dominio se definió como todos los valores que puede tomar la variable independiente en una función, considera el siguiente ejemplo:

Observa cómo en este ejemplo se restringen los valores de t a números que sean mayores o iguales a cero. Esto significa que el dominio ya no está conformado por todos los números reales. Como te podrás imaginar, estas restricciones también afectan al rango de la función, el cual definimos previamente como todos los valores que puede tomar la variable dependiente. Para el ejemplo anterior tendríamos que el rango son los valores de de x tal que .

De ahora en adelante será muy importante que puedas identificar concretamente el dominio y rango de las funciones que presentemos, pues eso te ayudará a resolver algunos problemas más eficientemente. He aquí algunos consejos para identificar el dominio y rango de algunas funciones:

Observa los valores extremos de la variable independiente, estos restringirán el dominio.

Intenta construir una gráfica de la función con algunos valores del domino, esto te dará una idea de los valores que puede tomar la variable dependiente y por ende el rango de la función.

2.3 Propiedades

Las funciones, sin importar su tipo, comparten diferentes propiedades y características que permiten una mejor descripción de los fenómenos que explican. A continuación se presenta la definición de cada una:

Prueba de la recta vertical: Una curva en un plano coordenado se dice que es gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez. (Esta prueba va de la mano con la definición de función, pues recuerda que no puede haber dos valores diferentes de la variable dependiente para un mismo valor de la variable independiente).

Funciones seccionalmente definidas: Una función puede estar definida por expresiones algebraicas distintas en diferentes partes de su dominio. Por ejemplo:

Simetría:

Dada una función , si ésta cumple que para todos los valores de x en su dominio, entonces se dice que es una función par. Un ejemplo de función par es:

Dada una función , si esta cumple que para todos los valores de x en su dominio, entonces se dice que es una función impar. Un ejemplo de función impar es .

Funciones crecientes y decrecientes:

Una función es creciente sobre un intervalo L si:

, dado que en L.

Una función es decreciente sobre un intervalo L si:

, dado que en L.

Procura revisar estos puntos cuando te encuentres con una función o su gráfica en algún ejercicio o ejemplo, pues te darán más información sobre el comportamiento de los datos que se estén considerando.

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