Marco Teorico

¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (ED)?

Una ED es la relación que existe entre una función y sus derivadas.

Existen problemas donde se requiere la terminación de una función que satisfaga una ecuación cuyas incógnitas son:

(“funciones derivadas”) o derivadas de una función desconocida por determinar.

Son ejemplos de ED las siguientes:

d/dt P=kdt Escrito alternativamente como:

P’(t)=kdt

d^3/(dt^3 ) y=e^(-y)+t +d^2/〖dt〗^2 y

m d^2/〖dt〗^(2 ) u(t)=⌊t,u(t),d/dt u⌋

¿Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales?

La primera clasificación depende de si la función desconocida depende de una o de varias variables.

Si la función incógnita depende de una variable, la ED es del tipo ordinaria.

Si en la función incógnita aparecen derivadas parciales entonces la ED es del tipo ED paralela.

Por ejemplo: d/dt P(t,y)=kdy

Dentro de las ecuaciones diferenciales ordinarias el mayor orden de la derivada es quien determina el grado de la ED.

Ejemplo: m d^2/〖dt〗^2 u(t)=F(t,u(t) d/dt u) en este caso, el grado de la ED es 2 porque se tiene que m d^2/dt es una derivada de segundo orden.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ordinarias: d/dx y+kx=v

ED

Parciales: d/dx u(x,y)+k(x^2+y^2 )=s(x,y)

Por grado: la derivada de mayor orden define el grado de la ED, ejemplo:

d^3/〖dx〗^3 y+d^2/x^2 y+3y=1 grado 3

ECUACIONES HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS

Por ejemplo:

Ld^2/〖dt〗^2 Q(t)+R d/dt Q(t)+1/c Q(t)=E(t) ordinaria grado 2

(Ecuación que define la carga eléctrica de un condensador en un circuito de capacitancia “C” con resistencia R, voltaje E e inductancia L).

Ecuación de potencial de la place

a^2 d^2/〖dx〗^2 u(x,y)+d^2/〖dy〗^2 u(x,y)=0 Parcial de grado 2

Difusión de calor

a^2 d^2/〖dx〗^2 u(x,t)=d/dt u(x,t) Parcial de grado 2

d/dt R(t)=-kR(t) o bien R(t)=-kR(t)

En general la ED ordinaria es del tipo

F[x,u(x),u^' (x),…,u^((n) ) (x)]=0

O bien

F[x,u(x),d/dx u(x) d^2/〖dx〗^2 u(x),…,d^((n))/〖dx〗^((n)) (x)]=0

Pueden utilizarse otras literales para designar a las ED, y se tiene como supuesto que siempre es posible despejar la derivada de más alto rango (u orden) en una ED, obteniendo de la ED, f[x,u,(x),…,u^n (x)] el siguiente despeje.

y^((n))=d^((n))/〖dx〗^((n)) y=f[x,y,y^',y^'',…,y^((n-1)) ] o bien

d^((n))/〖dx〗^((n)) y=f[x,y,dy/dx,d^2/〖dx〗^2 y,…,d^((n-1))/〖dx〗^((n-1)) y]

Ejemplo:

d^3/〖dx〗^3 y+d^2/〖dx〗^2 y+3y=x^2-1 se despeja el de mayor grado

d^3/〖dx〗^3 y=x^2-1-3y-d^2/〖dx〗^2 y

y^'''=-1-3y+x^2-d^2/〖dx〗^2 y

Otra clasificación tiene que ver con si la ED es lineal o no lineal. La ecuación:

f[x,u(x),d/dx u(x),d^2/〖dx〗^2 u(x),…,d^((n))/〖dx〗^((n)) x] se dice lineal en las variables: u,d/dx u d^2/〖dx〗^2 u,…,d^((n))/〖dx〗^((n)) u

Esto es equivalente a decir:

a_0 (x) y^((n))+a_2 (x)

...