Teoría de conjuntos.Tarea

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE OAXACA.

Materia: Matemáticas discretas. 

Unidad II: Teoría de conjuntos.

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales

Grupo: ISA

Marco Teórico

La teoría de conjuntos, en un primer momento, se ocupa del estudio de los conjuntos que se obtienen a partir de los axiomas, considerados como objetos amorfos, i.e., desprovistos de cualquier tipo de estructura, mediante diferentes tipos de morfismos, relaciones, funciones parciales y funciones. Posteriormente, para profundizar en el estudio de la naturaleza de los conjuntos, se les dota de diversas estructuras, siendo las fundamentales las de tipo relacional, algebraico, topológico y analítico y se les compara mediante los morfismos adecuados, i.e., aquellos que preservan las estructuras involucradas.

Definición de conjunto

Se le llama conjunto a una colección o agrupación de elementos perfectamente bien definidos y  diferenciados dentro de un todo, por ejemplo:

1. Los estudiantes inscritos en el grupo 1102 de Matemáticas Básicas de la Licenciatura en Administración en la FCA-UNAM.

1. El grupo Salinas, es un conjunto de empresas dedicadas a la comunicación en el Estado Nuevo León.

1. El conjunto de todas las erogaciones efectuadas en el mes de enero de este año por la Dirección de Suministros y Adquisiciones de la Universidad Nacional Autónoma de México

Representación de conjuntos

1. En general a un conjunto se le asigna cualquier nombre o se denotan con las letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, ... etc.).

1. Los elementos de un conjunto se colocan entre llaves { } y separados por comas, ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1. Los elementos de los conjuntos se representan con símbolos numéricos, letras minúsculas del abecedario y la combinación de los dos anteriores, por ejemplo:

c.1  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}

c.2  B = {a, e, i, o, u}

c.3  C = {casa, 4x, 2b, 3*}

Descripción de conjuntos

Existen dos formas de describir a los conjuntos por extensión (o tabular o enumeración) y por comprensión (o constructiva o descriptiva). Cuando el conjunto se describe por extensión se enlistan o nombran a todos los elementos del conjunto, por ejemplo: El conjunto A de vocales {a, e, i, o, u}, el conjunto B las siete Ss para organizaciones efectivas

 B = {estructura, estrategia, sistemas, valores comparativos, estilo, habilidades, personal}.

Cuando el conjunto se describe por comprensión consiste en mencionar una regla la cual permite encontrar todos los elementos del conjunto,por ejemplo: El conjunto A = {x / x sean los números naturales}, el conjunto B = {x / x es un socio de TV-América}.

Conjunto finito e infinito

Un conjunto es finito cuando se pueden contar uno a uno hasta alcanzar el último de los elementos que lo forman, ejemplo el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, el conjunto B = {x / x sea el número de empleados de un supermercado}.

El conjunto es infinito si no se conoce el último elemento que lo forma (porque siempre hay un elemento más que contar), ejemplo en el conjunto A se enlistan algunos de los números primos

A = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13,...}, el conjunto

B = {x / x sea el número de personas que compran diferentes artículos por Internet}.

Conjunto vacío o nulo

Es el conjunto que no contiene elementos y se acostumbra representarlo con los símbolos { } o por φ, ejemplo:

A B C 4

1. A = {x / x sean las mujeres mexicanas que hayan viajado a la luna}

1. B = {x / sean las mujeres investigadoras de 100 años de edad en la Antártida} Muchas veces se define un conjunto vacío recurriendo a un par de contradicciones mutuamente contradictorias, por ejemplo:

A = {x / x > 10 y x < 7} el conjunto A lo llamamos conjunto vacío, por no tener ningún elemento que simultáneamente sea mayor de 10 y menor de 7.

Advertencia:

a) φ es distinto de cero (φ≠0) y de {0}, porque φ es un conjunto sin elementos y {0} es un conjunto con el elemento 0 (cero).

b) El número cero no es un conjunto ( 0

≠

{0} ).

El conjunto vacío φ es un subconjunto de cualquier conjunto A, excepto de sí mismo.

Pertenencia

Cuando se relaciona a un elemento con el conjunto al cual pertenece se utiliza el símbolo ∈ que se emplea para abreviar pertenece o es miembros de o es elemento de.

Ejemplo:

1) A = {1, 2, 3, 5} y B = {4, 6, 7, 8}

                                        ENUNCIADO                          NOTACIÓN

                                  4 no es elemento de A:                  4 ∉A

                                  7 es un elemento de B:                  7 ∈B

                                  Otra forma de representarlo:

                                  4 no es un elemento de A:             4 ∉ {1, 2, 3, 5}

                                  7 es un elemento de B:                  7 ∈{4, 6, 7, 8}

2) Como las cuentas nos van a servir para representar los valores del balance contable, las clasificamos desde el punto de vista del documento en el 5 conjunto VB = {cuenta de activo, cuenta de pasivo,

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