Logaritmos

Introduccion

Dados los números reales: a (positivos) y b (positivo y diferente de 1), diremos que el logaritmo de base a en base b es el numero real que utilizado como exponente de la base b nos da el numero a.

Es decir:

Con las siguientes condiciones de existencia:

a > 0

b > 0

b≠ 1

Ejemplo:

Verifique que su dominio de existencia es

Ejercicio; determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones:

Representación grafica de la función logaritmo

Si la base de una cierta función

Entonces su representación grafica será de la forma:

Propiedad 1

Si utilizamos como exponente de un cierto numero b el logaritmo de un numero a en base b, obtendremos el numero a.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Por definición sabemos que

Entonces, sustituyendo c en la segunda igualdad obtenemos el resultado que queríamos demostrar

Propiedad 2

Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Basándonos en la propiedad 1 podes escribir las siguientes dos igualdades

Entonces su producto será:

Y aplicando la propiedad de productos de potencia de la misma base:

Y ahora por definición de logaritmo llegamos a la igualdad que queríamos demostrar

Propiedad 3

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los respectivos logaritmos de los factores.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Basándonos otra vez en la propiedad 1 volvemos a escribir las siguientes dos igualdades

Entonces el cociente será:

Y aplicando la propiedad sobre división de potencias de la misma:

Otra vez, por definición de logaritmo, llegamos a la igualdad que queremos demostrar:

Propiedad 4

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

Es decir:

DEMOSTRACION:

Tomamos otra vez como punto de partida la igualdad que surge de la propiedad 1:

Si elevamos ambos miembros al mismo exponente n, obtendremos:

Aplicaremos ahora la propiedad sobre potencias de una potencia:

Nos bastara ahora aplicar, como en los casos anteriores, la definición de logaritmos para llegar a la formula que queremos demostrar:

Propiedad 5

Cambio de base

El logaritmo de un numero a en una cierta base b, es igual al cociente de los respectivos logaritmos de a y b en cualquier otra base B.

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