Logaritmos

1.- DEFINICIÓNES.

Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un número N de la siguiente manera:

O sea, como el exponente al que hay que elevar "a" para obtener "N".

Ejemplos:

Los logaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) y los logaritmos neperianos(de base el número e 2'71828182....). Ambos tienen una notación especial:

Observación: Los logaritmos neperianos deben su nombre al matemático escocés John Neper (1550-1617) y fueron los primeros en ser utilizados. Al principio, Neper llamó "números artificiales" a los exponentes, para más tarde decidirse por la palabra "logaritmo", compuesta por las palabras griegas logos (razón) y aritmos (números).

2.- PROPIEDADES.

2.1.- El logaritmo de la unidad es 0. O sea, loga1=0

2.2.- El logaritmo de la base es 1. O sea, logaa=1

2.3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. O sea, loga (N•M)=loga N + loga M

Demostración:

2.4.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. O sea, loga (N:M)=loga N - loga M

Demostración:

2.5.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. O sea, loga (NM)= M•loga N

Demostración:

2.6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

O sea,

Demostración: Basta con hacer notar que, por ejemplo,

Ejemplo: Sabiendo que log 2 = 0'3010, log 3=0'4771 y que log 35=1'5441, desarrolla y calcula el siguiente logaritmo:

3.- LOGARITMOS DECIMALES.

Observación: Lo que viene a continuación es pura nostalgia!!

Los logaritmos decimales se pueden escribir como suma de dos números: la característica y la mantisa.

La característica de un logaritmo decimal es el número entero inmediatamente inferior o igual a dicho logaritmo.

Ejemplo 1: Tomemos cualquier número con 3 cifras enteras, p.e. 362.

100 362<1000  log 100  log 362 < log 1000  2  log 362 <3  la característica del log 362 es 2.

Ejemplo 2: Tomemos ahora un número comprendido entre 0 y 1, p.e. 0'00027.

0'0001 0'00027< 0'001  log 0'0001  log 0'00027 < log 0'001  -4  log 0'00027 < -3  la característica del log 0'00027 es -4.

Resumiendo:

• La característica del logaritmo decimal de un número mayor que 1 con n cifras enteras es (n-1).

• La característica del logaritmo decimal de un número comprendido entre 0 y 1 es (-n), siendo n el número de ceros que presenta la escritura decimal del número (incluyendo al que precede a la coma decimal).

La mantisa de un logaritmo decimal es la diferencia entre el logaritmo y su característica.

Como la característica es siempre menor que el logaritmo  la mantisa es siempre un número positivo menor que 1 (Ver Tablas).

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