Conjuntos

Bases de datos relacionales

cuyos valores en las tuplas deben coincidir con valores

de la clave primaria de las de la clave primaria de las tuplas de otra relación. de otra relación.

Integridad referencial:

Todos los valores no nulos de una clave externa

referencian valores reales de la clave referenciada.

11Restricciones de integridad:

Asociadas a las relaciones de la base de datos

La integridad referencial mantiene

las conexiones en las bases de datos relacionales:

Para otros usos de este término, véase Conjunto (desambiguación).

Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Índice [ocultar]

1 Historia

2 Definición

2.1 Notación

2.2 Igualdad de conjuntos

2.3 Conjunto vacío

2.4 Subconjuntos

2.5 Conjuntos disjuntos

3 Cardinalidad

4 Operaciones con conjuntos

5 Véase también

6 Notas

7 Referencias

7.1 Bibliografía

8 Bibliografía adicional

9 Enlaces externos

Historia[editar]

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.2 Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos con base en los conjuntos.

Definición[editar]

[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.

—Georg Cantor3

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.

D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A , ♠ ∈ D

amarillo ∉ B, z ∉ C

Notación[editar]

Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.

Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}

C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

A = {Números naturales menores que 5}

D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión

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