Conjuntos Q

Números Racionales

Su símbolo es Q. Es el conjunto de los números que comprende los enteros y los fraccionarios. Los números racionales se pueden expresar como cocientes exactos o bien como decimales periódicos, ejemplo son racionales:

1/3= (0,333….) y ¼ (=0,25) la raíz cuadrada de 2 (=1,4142136...) No es racional

Hemos visualizado que en el conjunto N de los números naturales se puede sumar y multiplicar; que en el conjunto Z de los números enteros se puede sumar, restar y multiplicar. Vamos a ver ahora un nuevo conjunto Q, ampliación de los anteriores, de manera donde se pueda realizar las cuatro operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir. Dicho conjunto Q será el de las fracciones positivas o negativas o números racionales.

Ejemplo: para repartir una cierta cantidad en partes iguales tenemos que emplear números racionales.

Cada uno de los conjuntos por todas las fracciones equivalentes entre sí forma una clase de equivalencias que recibe el nombre de número racional. Como un número racional está formado por un conjunto de fracciones equivalentes, llamaremos representante canónico a la fracción irreducible de denominador positivo.

Representación de números racionales en la recta numérica.

Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por y se define de la manera siguiente:

Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:

El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama "segmento unidad".

De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por y se define de la manera siguiente:

Debido a que si , , entonces se

cumple que ; se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.

Recordemos además que si , , , el número racional se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir por ; en donde indica el número de partes en que se divide la unidad y el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución:

Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier número racional en la recta numérica.

Ejercicio

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales:

a. b. c. d.

Solución

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

a. b. c. d.

Solución

Utilizando la calculadora se puede notar que:

a. b. c. d.

De esta manera

Suma de fracciones.

Proceso de combinar dos o más fracciones en un número equivalente (llamado suma), representado por el símbolo +.

Para obtener el valor numérico en forma de fracciones, primero cambia todos los denominadores de las fracciones a sumar a su mínimo común denominador (MCD). Después suma las fracciones simplemente sumando los numeradores y manteniendo el mismo denominador.

Por ejemplo:

1/5 + 2/5 = (1+2)/5 = 3/5

1/2 + 1/8 = 4/8 + 1/8 = (4+1)/8 = 5/8.

Con el mismo denominador

Se suman los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se suman los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

m.c.m (4, 6) = 12

Sumas y restas de fracciones

La idea del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tarde por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una verdadera filosofía del número.

Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban a los números no sólo como cantidades sino como los elementos que regían al Universo.

Los números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y el Universo era concebido en términos de relaciones matemáticas.

Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que representan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de partes, o en el caso de fracciones impropias, números naturales más una fracción de la unidad también dividida en el mismo número de partes.

Así, dadas 2 ó más fracciones con distinto denominador, si se quiere sumarlas, se debe hacer lo siguiente:

1) Encontrar el m.c.m. de todos los denominadores.

2) Hallar las fracciones equivalentes a las dadas con denominador igual al m.c.m. encontrado en 1).

3) Sumar esas fracciones encontradas, que son equivalentes a las dadas.

Todo esto es útil porque

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