GUÍA DE APOYO AL APRENDIZAJE N°8 PROBABILIDAD CONDICIONAL

GUÍA  DE  APOYO  AL  APRENDIZAJE N°8

PROBABILIDAD  CONDICIONAL

Ocurre con frecuencia que la probabilidad de un suceso se ve afectada por el conocimiento de otro acontecimiento, cuyo resultado influye en el primero. Esta idea conduce al concepto de la Probabilidad Condicional de eventos, la cual se define como:

Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral omega, si [pic 1], entonces la probabilidad condicional del suceso A, dado que ya ocurrió el suceso B, se expresa mediante la relación multiplicativa: [pic 2]. Como la intersección de conjunto es conmutativa, es equivalente a escribir:

[pic 3] (2 sucesos son dependientes)

Observación: sean A y B dos sucesos de un espacio muestral omega, si [pic 4], entonces la probabilidad condicional que no ocurra el suceso A, dado que ya ocurrió el suceso B, se escribe como:

[pic 5]

Ejemplos: Se lanza un dado dos veces. Determine la probabilidad de que la suma sea 5, si se sabe que el primer dado es mayor que el segundo.

Solución:

A = {obtener suma igual a 5}

B = {el primer dado es mayor que el segundo}

                                [pic 6][pic 7] [pic 8] [pic 9]

[pic 10][pic 11] [pic 12] [pic 13] [pic 14] [pic 15]

[pic 16] [pic 17] [pic 18] [pic 19] [pic 20]

Por lo tanto, la probabilidad pedida, es: [pic 21]

Es decir, hay aprox. un 14,3% de probabilidad de obtener una suma de 5, si el primer dado es mayor que el segundo al lanzar dos veces un dado.

EVENTOS  INDEPENDIENTES

Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral omega y [pic 22]. A y B son independientes si:

i)  [pic 23]

ii)  [pic 24]

iii)  [pic 25], con [pic 26]

Observación: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral omega dependientes, entonces se debe cumplir:

[pic 27]

Regla Multiplicativa

        Para más de dos eventos es factible generalizar la regla multiplicativa dada por la definición de probabilidad condicional; por ejemplo, para los eventos A, B, y C, se tendría:

[pic 28]

Ejemplos:

1) En una caja hay 5 fichas blancas y 3 fichas azules. Se extraen 2 fichas. Determine la probabilidad de obtener 2 fichas blancas, si el experimento se realiza:

1. Con reposición.
2. Sin reposición.

Solución:

Sean los sucesos:        A = {la primera ficha es blanca}

B = {la segunda ficha es blanca}

1. [pic 29] [pic 30] [pic 31]

Por lo tanto, hay aprox. 39,1% de probabilidad de obtener 2 fichas blancas, con reposición.

1. [pic 32] [pic 33] [pic 34]

Por lo tanto, hay aprox. 35,7% de probabilidad de obtener 2 fichas blancas, sin reposición.

2) En una caja hay 3 artículos defectuosos y 5 artículos buenos. Se extraen 3 artículos. Determine la probabilidad de que los 2 primeros sean buenos y el último defectuoso, si el experimento se realiza:

1. Con reposición.
2. Sin reposición.

Solución:

Sean los sucesos:        A = {el primer artículo es bueno}

B = {el segundo artículo es bueno}

C = {el tercer artículo es malo}

1. [pic 35] [pic 36] [pic 37]

Por lo tanto, hay aprox. 14,6% de probabilidad de que los 2 primeros artículos sean buenos y el tercero malo, con reposición.

1. [pic 38][pic 39][pic 40]

Por lo tanto, hay aprox. 17,8% de probabilidad de que los 2 primeros artículos sean buenos y el tercero malo, sin reposición.

3) Hay 10 postulantes a un cargo en una empresa, 7 son hombres y 3 son mujeres. El gerente de personal decide entrevistar al azar a 2 postulantes. Determine la probabilidad de que uno de ellos sea hombre.

Solución:

Sean los sucesos:        A = {el primer entrevistado es hombre}

B = {el segundo entrevistado es hombre}

Probabilidad pedida = [pic 41]

Por definición de Probabilidad Condicional, tenemos:

1° [pic 42] [pic 43] [pic 44]

2° [pic 45] [pic 46] [pic 47]

3° Probabilidad pedida = [pic 48]

Por lo tanto, hay aprox. 46,7% de probabilidad de que uno de los 2 entrevistados sea hombre.

DIAGRAMA  DE  ÁRBOL

Ciertos problemas y situaciones, en la teoría de las probabilidades, pueden resolverse mediante un “Diagrama de árbol”, el cual es una sucesión de vértices y aristas conectados entre sí, es decir, un tipo especial de gráfico. Los segmentos o aristas representan las probabilidades de los eventos que les preceden en forma de puntos o vértices. En la figura siguiente observaremos el caso típico: a medida que el árbol se va ramificando hacia la derecha, aparecen eventos condicionados a los de la izquierda.

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