Lógica Matematica

1.8 Conectivos Lógicos

Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar dos o más

proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son: la

conjunción, la disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

1.8.1 Conjunción: “ ᴧ “

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por “p ∧

q“, se denomina la conjunción de p y q.

Ejemplo 1: r ∧ s : 6 es número par y entero positivo, en donde:

r : 6 es un número par.

∧: y

s : entero positivo.

Ejemplo 2: p ∧ q : Diego estudia psicoanálisis y Ana estudia conductismo.

p : Diego estudia psicoanálisis

∧ y

q : Ana estudia conductismo

Para determinar el valor de verdad de proposición compuesta formada por dos proposiciones

simples unidas por una conjunción utilizaremos la representación gráfica mediante el uso de

los diagramas de VENN. Los diagramas de VENN, a través de áreas sombreadas muestran

claramente el conjunto de verdad de la operación que se está realizando, veamos:

La siguiente figura representa el conjunto de verdad de la conjunción, donde:

U = {todas las personas}

P = {personas que juegan futbol}

LLLeeecccccciiióóónnn Nooo...333 Cooonnneeeccctttiiivvvooosss lllóóógggiiicccooosss fffuuunnndddaaameeennntttaaallleeesss

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Q = {personas que son Colombianas}

P(x) = x es un jugador de fútbol

Q(x) = x es un Colombiano

p ( x)∩q ( x) x es un jugador de futbol y x es un Colombiano

P∩Q = {x / p( x) ∧ q ( x)} = {todas las personas que juegan futbol y son Colombianas}

Como se dijo en la sección anterior, el valor de verdad de una proposición compuesta no sólo

depende del conectivo lógico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones

simples. Por lo tanto, surgen las siguientes posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdadera

Caso 2: Que p sea verdadera y q sea falsa

Caso 3: Que p sea falsa y q sea verdadera

Caso 4: Que p sea falsa y q sea falsa

Estudiemos estos cuatro casos en el ejercicio propuesto:

Caso 1: r: Santiago es jugado de futbol

s: Santiago es Colombiano

r ∧ s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Santiago es jugado de futbol

s: Santiago no es Colombiano

r ∧ s : Falsa (F)

Caso 3: r: Santiago no es jugado de futbol

s: Santiago es Colombiano

r ∧ s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa. Santiago no es jugado de futbol

s: Falsa. Santiago no es Colombiano

Q

U

P

Figura No. 2 Conjunción

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r ∧ s : Falsa (F).

A continuación se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1:

Caso 1: r: Verdadera 6 es un número par

s: Verdadera 6 es un entero positivo

r ∧ s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Verdadera 6 es un número par

s: Falsa 6 no es un entero positivo

r ∧ s : Falsa (F)

Caso 3: r: Falsa 6 no es un número par

s: Verdadera 6 es un entero positivo

r ∧ s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa 6 no es un número par

s: Falsa 6 no es un entero positivo

r ∧ s : Falsa (F)

Podemos resumir estos resultados utilizando la siguiente tabla, llamada tabla de verdad de la

conjunción:

De tal manea que podemos concluir que la conjunción es verdadera únicamente cuando las

dos proposiciones simples son verdadera, en cualquier otro caso la conjunción es falsa.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjunción

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Ejercicio Propuesto 3: Plantea el análisis de todos los casos y valores de verdad para el

ejemplo 2:

Ejercicio

propuesto

Termino de escribir mi programa de computación y luego jugaré

tenis

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:

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1.8.2 La disyunción “ v “

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición p o q, simbolizada “p v q” se llama

disyunción de p y q.

Ejemplo 1: Uso del “o” incluyente

r v s: Juan estudia ingeniería o Paola estudia medicina

r : Juan estudia ingeniería

v : o

s: Paola estudia medicina

Ejemplo 2: Uso del “o” excluyente

x v y : Quieres helado o gaseosa.

x : Quieres helado.

v : o

y: Quieres gaseosa.

Ejemplo 3: Uso del “o” excluyente

p v q: Alexandra vive en Bogotá o en Barranquilla.

p : Alexandra vive en Bogotá.

v : o

q : Alexandra vive en Barranquilla.

Los ejemplos anteriores muestran los usos del operador “o”. En el ejemplo 2 tenemos el

llamado “o incluyente” el cual hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones

simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva; mientras que el

conectivo lógico “o” de los ejemplos 2 y 3 actúa como un “o excluyente”, donde el valor de

verdad de una proposición excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la

proposición disyuntiva siempre tome el valor verdadero.

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Para establecer el valor de verdad de una proposición disyuntiva, consideremos las siguientes

funciones proposicionales:

U = {personas que son Colombianas}

P(x) = x es una persona que vive en Bogotá

Q(x) = x es una persona que vive en Barranquilla

p ( x)∪q ( x) x es un Colombiano que vive en Bogotá o x es un Colombiano

que vive en Barranquilla

P∪Q ={x / p(x)∨q( x)} ={todos los Colombianos que viven en Bogotá o en Barranquilla}

Por consiguiente el conjunto de verdad de la disyunción es exactamente la unión de los

conjunto de verdad de sus componentes; su representación gráfica es la parte sombreada de

la siguiente figura:

Como se analizó en la conjunción, el valor de verdad de la proposición compuesta no sólo

depende del conectivo lógico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones

simples. Por lo tanto, surgen las mismas cuatro posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdadera

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