Logica Matematica

Introducción

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es falso o verdadero. Es utilizada en filosofía, matemáticas, computación y física. En matemáticas la lógica es una herramienta útil para demostrar teoremas e inferir resultados, así como para resolver problemas. En la computación la lógica se aplica en la elaboración y revisión de programas, en el estudio de lenguajes formales y la relación existente entre ellos, así como la obtención de resultados en forma recursiva.

La lógica es muy importante ya que incluso permite resolver problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano, utilizando solamente la inteligencia y algunos conocimientos acumulados se pueden crear nuevos inventos, hacer innovaciones a los ya existentes o simplemente a utilizar los mismos de tal manera que se obtengan mejores resultados.

Proposiciones

Una preposición o enunciado es una oración, frase o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a la vez.

Preposiciones compuestas

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones “compuestas”. Una preposición es compuesta cuando esta integrada por dos o más proposiciones simples conectadas por medio de operadores lógicos.

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es .

Operador or (o)

Con este operador se obtiene un resultado falso cuando dos preposiciones son falsas. Se indica con el símbolo: v.

Operador not (no)

Tiene como función negar la preposición. Esto significa que si alguna preposición verdadera se le aplica el operador not, se obtendrá su complemento o negación. Este operador se indica: ´.

Operador or exclusivo (xor)

Es similar al not, su diferencia es de que si resultado es verdadero solamente si una de las preposiciones es cierta, ya que cuando amabas son verdad el resultado es falso. Su símbolo es: .

Preposición condicional 

Es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuestas) p y q, se indica: p  q. Y se lee “si p entonces q”.

Preposición bicondicional 

Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional así: p  q. Se lee como “p si y solo si q” en donde la proposición que representa el enunciado (p  q) es verdadera si p es verdadera y si y solo si q también lo es o viceversa.

Tablas de verdad

Por medio de esta, es posible mostrar los resultados obtenidos al aplicar cada uno de los operadores lógicos, así como el resultado de la proposición para todos y cada uno de los valores que pueden tener las diferente proposiciones simples que integran una proposición compuesta. Esta formada por filas y columnas, y el numero de filas depende del numero de proposiciones diferentes que conforman una proposición compuesta. Numero de filas = 2 n, donde n es el numero de preposiciones diferentes que integran una preposición compuesta.

En la tabla es conveniente colocar los valores de las proposiciones con cierto orden ya que una tabla de verdad ordenada permite una revisión rápida. El orden indicado es primero colocar las proposiciones ordenadas alfabéticamente y los valores de las misma de menor a mayor (000, 001, 010, 111) y luego las proposiciones complemento requeridas. Se debe aplicar la siguiente jerarquía de operación:

Jerarquía Operador

1° ( )

2° ´

3° 

4° v

5°  

De acuerdo la tabla, lo primero que se evalúa en una proposición es lo que se encuentra e paréntesis, después la negación, posterior la intersección y la unión, y finalmente la condicional y la bicondicional.

Tautología, contradicción y contingencia

Tautología es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores

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