Matematica Financiera

Introducción

Hablar de matemáticas en cualquiera de sus especialidades se refiere a números. Por ello, el primer punto de partida es una breve introducción al estudio de las propiedades y las reglas, como aquellas que se utilizan en las operaciones con números.

Los cálculos financieros son importantes en el desarrollo de la contaduría pública, ya que muestran ciertas operaciones que facilitan diversas cosas en el campo económico y contable.

Quizás no influyan directamente en lo aspecto contable, pero si tiene un gran repercusión en el mismo.

Se hablara inicial de los que son los números, mostrando los criterios de redondeo.

Seguidamente acerca de los Exponentes, radicales y leyes de exponentes también son partes de la misma.

Se hace hincapié en lo que son los logaritmos, exponenciales y sus propiedades.

Y se finalizara con logaritmos comunes y naturales.

También mostrando ejemplo de los anteriores mencionados.

Los Números

En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada.

Diariamente se manejan cantidades que se representan mediante diferentes tipos de números, como los enteros, los fraccionarios, los positivos, los negativos, los pares, etcétera. Todos ellos forman parte de lo que se conoce como el conjunto de los números reales. Por supuesto que existen otros números que no pertenecen a ese conjunto, los que no son reales, los llamados imaginarios, pero poco tienen que ver con la matemática de los negocios y las finanzas. Dos de estos números son, por ejemplo, las 2 soluciones de la ecuación:

x2+1 = 0

De donde al sumar −1 a los 2 lados y sacar raíz cuadrada a −1 resulta:

x2 = −1 o bien, x = ± √−1

Que son números imaginarios, no son reales, y se denotan con ± i respectivamente.

Criterios de Redondeo

En algunas situaciones, no se necesita el resultado exacto. En estos casos, es posible redondear el número a un valor posicional específico. Por ejemplo, si viajaste 973 metros, se podría redondear la distancia a 1,000 metros, lo cual es más fácil de recordar. Redondear también es útil para ver si un cálculo es razonable.

El criterio más generalizado para redondear los números es el que considera lo siguiente:

a) Si el primer dígito que se desprecia es mayor que 5, entonces el que se retiene se incrementa en 1; por ejemplo: 42.53621, con 2 decimales queda: 42.54.

b) Si el primer dígito que se desprecia es menor que 5, el que se retiene no cambia; por ejemplo, el redondeo de 2.328543 a 4 decimales es 2.3285.

c) Si el primer dígito que se desprecia es igual a 5, hay 2 opciones:

l. El último dígito que se retiene se incrementa en 1; si a la derecha del 5 hay, por lo menos, 1 que sea mayor que 0, por ejemplo, 5.085013 se redondea como 5.09 con 2 decimales.

2. Si a la derecha del 5 hay sólo ceros y el último que se retiene es par, éste no cambia, pero se incrementa en 1 si es impar. Por ejemplo, 425.32500 o 425.325 se redondean a 425.32, y 0.8375 se redondea a 0.838, con 3 decimales.

Ejemplo:

Al redondear el número X = 38.72514685 a 6, 4, 2 y 7 cifras decimales respectivamente queda:

X = 38.725147 con 6 decimales

X = 38.7251 con 4 decimales

X = 38.73 con 2 decimales

X = 38.7251468 con 7 decimales

Al redondear X a los enteros quedará: X = 39.

Otra forma de redondear un número es redondearlo al entero mayor, y un ejemplo es lo que hacen las tiendas de autoservicio con la campaña del redondeo para ayudar a las personas de bajos recursos o instituciones de beneficencia, reteniendo los centavos que faltan para tener pesos completos cuando el cliente paga su compra en las cajas.

Exponentes

Es un entero positivo escrito en la parte posterior derecha de la base, el cual indica el número de veces que la base aparece como factor.

1) a2 = a.a

2) 27 = 3.3.3 = 33

3) 243 = 3.3.3.3.3 = 35

La enésima potencia de un número: Si a es un número real y n es entero positivo, entonces, la enésima potencia de a se define como:

an = a(a)…(a) -> Numero de Factores

Donde a es la base y n es el exponente. Note que la enésima potencia de un número es una multiplicación sucesiva.

Ejemplos:

a) La tercera potencia de 5 es 125 porque:

53 = 5(5)(5) = 25(5) = 125

b) La quinta potencia de −3 es igual a −243 porque:

(−3)5 = (−3)(−3)(−3)(−3)(−3) = 9(9)(−3 ) = −243

c) La vigésima potencia de 1.0215 es:

(1.0215)20 = 1.530267728

Hay que recordar que si el exponente es impar cuando la base es un número negativo, el resultado es negativo y es positivo si la potencia es un número par.

Si a es diferente de 0, entonces, a0 =1 y si el exponente es negativo, entonces, a-n = 1/an

Esto significa que todo número diferente de 0, elevado a la potencia 0, es igual a 1 y un exponente negativo se hace positivo o, mejor dicho, cambia su signo si se pasa al denominador de una fracción; y también en este caso, la base debe ser diferente de 0 porque no se puede dividir entre cero.

La raíz enésima de b es: n√b = b1/n = a siempre an = b

Cuando el orden de la raíz n, es par, b debe ser no negativo

Ejemplos:

a) La raíz cúbica de 125 es 5 porque 53 = 125

b) Una raíz cuadrada de 144 es 12 porque 122 = 144, pero también −12 lo es porque (−12)2 = 144. De hecho, todo número real tiene 2 raíces cuadradas.

Leyes de los Exponentes

• En la multiplicación de 2 números con la misma base, se suman los exponentes y en la división se restan, es decir:

Aman = am+n y am/an = am−n, siempre que a ≠ 0

•La enésima potencia del producto de 2 números es igual al producto de las potencias, y la potencia enésima del cociente de 2 números es igual al cociente de las potencias, esto es:

(ab)n = anbn y (a/b)n = an/bn, siempre que b ≠ 0

•La enésima potencia de la potencia enésima de un número, se obtiene multiplicando las potencias, es decir: (am)n = amn

Ejemplos:

a) (-7)2 (-7)3 = (-7)2+3 = (-7)5

b) 52(5)-3 = 52+(-3) = 5-1 = 1/5

c) 85/83 = 85-3 =82

d) (8xyz)3 = 83 x3 y3 z3

e) [(2-p)3]2 = (2-p) 3(2) = (2-p)6

Logaritmos exponenciales y sus propiedades

Los logaritmos, que fueron creados al principio del siglo xvii por el matemático escocés John Napier, están

...