Ejercicios resueltos de probabilidad

Ejercicios resueltos de probabilidad

1. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en sus pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros. Obtén razonadamente el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?

Solución:

Llamemos A = {tener errores en los activos financieros} y B = {tener errores en los pasivos financieros}. Entonces P(A) = 0’7, P(B) = 0’6 y P(A ∩ B) = 0’4.

El suceso “no tener errores en los activos financieros” es A y por tanto P(A ) = = 1 − P(A) = 1 − 0’7 = 0’3 lo que significa el 30%.

El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es B y por tanto P(B) = = 1 − P(B) = 1 − 0’6 = 0’4 lo que significa el 40%.

El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos financieros y no tener errores en los pasivos financieros”, es decir, A ∩B. Pero, por

las leyes de Morgan, A ∩B = A∪B. Entonces P(A ∩B) = P(A∪B) =

= 1 − P(A ∪ B) = 1 − [P(A) + P(B) − P(A ∩ B)] = 1 − (0’7 + 0’6 − 0’4) = 1 − 0’9 = = 0’1 lo que significa un 10%.

Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros. Si tenemos una muestra de 500 empresas podemos esperar que 500 = 50 empresas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros.

2. Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos A ∪ B, A ∩ C y B ∩ C.

Solución:

Llamemos M al suceso “meter penalti”. Entonces P(M) = y por tanto P(M ) = .

Observemos que el suceso A es equivalente a “meter el primero y no meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y no meter el segundo y meter el tercero”, que simbólicamente podemos escribir así:

A = (M1 ∩M 2 ∩ M 3) ∪ (M 1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ (M 1 ∩ M 2 ∩ M3)

Los subíndices indican el número del penalti lanzado. Observemos también que cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis son incompatibles dos a dos, es decir, no es posible que ocurra simultáneamente “meter el primer penalti y no los dos siguientes” y “no meter los dos primeros y meter el tercero”, por ejemplo. Esta última observación nos lleva necesariamente a:

P(A) = P[(M1 ∩M 2 ∩ M 3) ∪ (M 1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ (M 1 ∩ M 2 ∩ M3)] =

P(M1 ∩M 2 ∩ M 3) + P(M 1 ∩ M2 ∩ M 3) + P(M 1 ∩ M 2 ∩ M3) (1), pues sabemos que si A, B y C son dos sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos (A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ y B ∩ C = ∅) entonces P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).

Hagamos notar, para terminar esta parte, que el hecho de meter o no un penalti no influye para nada en lo que ocurra en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o no meter el primer penalti es independiente de meter o no meter el segundo y de meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto podemos escribir (1) así:

(1) = P(M1) · P(M 2) · P(M 3) + P(M 1) · P(M2) · P(M 3) + P(M 1) · P(M 2) · P(M3) =

, pues también hemos de

saber que si A, B y C son sucesos independientes dos a dos, entonces P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C).

Con todo lo anterior hemos demostrado que P(A) =

Calculemos ahora P(B). Por un razonamiento semejante al anterior podemos escribir ahora B = (M1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ (M1 ∩ M 2 ∩ M3) ∪ (M 1 ∩ M2 ∩ M3) y por tanto P(B) = P(M1 ∩ M2 ∩ M 3) + P(M1 ∩ M 2 ∩ M3) + P(M 1 ∩ M2 ∩ M3) =

P(M1) · P(M2) · P(M 3) + P(M1) · P(M 2) · P(M3) + P(M 1) · P(M2) · P(M3) =

. Resumiendo: P(B) =

Hallemos por último P(C). Meter el primer penalti (con los penaltis segundo y tercero puede ocurrir cualquier cosa) se puede escribir simbólicamente así:

C = (M1 ∩ M2 ∩ M3) ∪ (M1 ∩M 2 ∩ M3) ∪ (M1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ (M1 ∩M 2 ∩ M 3)

y entonces P(C) = P(M1 ∩ M2 ∩ M3) + P(M1 ∩ M 2 ∩ M3) + P(M1 ∩ M2 ∩ M 3) +

+ P(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) = P(M1) · P(M2) · P(M3) + P(M1) · P(M 2) · P(M3) +

+ P(M1) · P(M2) · P(M 3) + P(M1) · P (

. En definitiva: P(C) =

Ahora estamos ya en condiciones de hallar las probabilidades que se nos piden en el problema:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = + = (los sucesos A y B son

claramente incompatibles).

• A ∩ C = M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ⇒ P(A ∩ C) = P(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) =

= P(M1) · P (

• B ∩ C = (M1 ∩ M 2 ∩ M3) ∪ (M1 ∩ M2 ∩ M 3) ⇒ P(B ∩ C) =

= P(M1 ∩M 2 ∩ M3) + P(M1 ∩ M2 ∩ M 3) = P(M1) · P(M 2) · P(M3) +

+ P(M1) · P(M2) · P (

Observaciones: Para calcular la probabilidad de A ∩ B es necesario calcular P(A) y P(B) pues son dos sucesos incompatibles, y por tanto la suma de las probabilidades de los mismos. Sin embargo P(C) no hubiera hecho falta pues se piden las probabilidades de A ∩ C y de B ∩ C, cuyo cálculo no requiere como se ha visto de P(C) y se hallan de forma similar a como se puede hallar P(A) o P(B). Observemos además que A y C no son independientes y por tanto no es lícito utilizar la fórmula P(A ∩ C) = P(A) · P(C). Lo mismo se puede decir de B y C.

Otra forma de hacer el ejercicio:

Todo lo anterior se podría haber simplificado bastante si utilizamos un diagrama de árbol como el siguiente:

4/5 Mete el 3º (1)

Mete el 2º

No mete el 3º (2)

Mete el 1º

Mete el 3º (3)

No mete el 2º

No mete el 3º (4)

Mete el 3º (5)

Mete el 2º

No mete el 3º (6)

No mete el 1º

Mete el 3º (7)

No mete el 2º

1/5 No mete el 3º (8)

Ahora hemos de observar que:

• P(A ∪ B) = P((2)) + P((3)) + P((4)) + P((5)) + P((6)) + P( +

• P(A ∩ C) = P(

• P(B ∩ C) = P(

Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. En experimentos compuestos se ha de recordar que la probabilidad de un suceso elemental del mismo puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales

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