El producto cartesiano

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos A x B es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B.

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden y recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

ejemplo n° 1:

ejemplo n° 2:

Si A ={1,2} y B ={-1,O,1} entonces A x B ={(1,-1), (1,0), (1,1), (2,-1), (2,0), (2,1)}. A tiene 2 elementos, B tiene 3, y A x B tiene 2 x 3 = 6

Ejemplo n° 3:

Si A = B = R, entonces R al cuadrado es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en R al cuadrado : un círculo no es otra cosa que cierto subconjunto de R al cuadrado (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales, vivimos en R al cuadrado x R

2-. CONJUNTO CARTESIANO

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Ejemplo n° 1:

Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo

3-. RELACION MATEMÁTICA

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Ejemplos de relación

A = {1, 4, 6}

B = {2, 3, 7}

La relación que existe entre A y B es mayor que, por lo que:

ARB={ (6,2) (4,2) (6,3) (4,3)}

4-. TIPOS DE RELACION:

RELACION REFLEJA ( O REFLEXIVA )

R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de

él está relacionado consigo mismo:

a ð A ð a R a

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACION SIMETRICA

R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de

elementos de él satisface lo siguiente:

a R b ð b R a

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

RELACION ANTISIMETRICA

R es una relación antisimétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de

elementos de él satisface lo siguiente:

a R b ð b R a ð a = b

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }

RELACION TRANSITIVA

R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de

elementos de él satisface lo siguiente:

a R b ð b R c ð a R c

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

5-. CLASIFICACION DE RELACIONES

RELACION DE EQUIVALENCIA

R es una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío , si y sólo si es

refleja, simétrica y transitiva en ese conjunto A .

Ejemplo:

La relación "igual que" ( = ) en el conjunto de los números enteros.

Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:

a = a ( Reflexividad )

a = b ð b = a ( Simetría )

a = b ð b = c ð a = c ( Transitividad )

RELACION DE ORDEN

R es una relación de orden en un conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja,

antisimétrica y transitiva en ese conjunto A .

Ejemplo:

La relación "menor o igual que" ( ð ) en el conjunto de los números enteros.

Sean a , b y c números enteros cualesquiera, entonces:

a ð a ( Reflexividad )

a ð b ð b ð a ð a = b ( Antisimetría )

a ð b ð b ð c ð a ð c ( Transitividad )

6-. FUNCION

Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si

f es una relación de A a B que a cada elemento de A le hace corresponder un y

sólo un elemento de B .

Ejemplo:

A = { a , e , i }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 3 ) , ( e , 7 ) , ( i , 7 ) }

Además su dominio es:

Dom f = A

Su codominio es:

Codom f = B

Su recorrido ( o rango ) es:

Rec f = { 3 , 7 }

Este último es el conjunto de las imágenes de A bajo f .

7-. FUNCION VALOR-ABSOLUTO

La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:

Graficamente la función IxI es

Si x es positivo no afecta la función en el número

Si x es negativo la función "lleva al numero"

...