Transformación de Lorentz

Transformación de Lorentz

Diagrama 1. Apariencia del espacio-tiempo a lo largo de una línea de universo de un observador acelerado.

La dirección vertical indica el tiempo, la horizontal indica la distancia espacial, la línea punteada es la trayectoria del observador en el espacio tiempo. El cuarto inferior representa el conjunto de sucesos pasados visibles al observador. Los puntos pueden representar cualquier tipo de sucesos en el espacio tiempo.

La pendiente de la línea de universo o trayectoria de la vertical da la velocidad relativa del observador.

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de Einstein, ya que las transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometría del espacio-tiempo requeridas por la teoría de Einstein.

Matemáticamente el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman el grupo de Lorentz.

Índice

1 Historia

2 Forma de las transformaciones de Lorentz

2.1 De las coordenadas

2.2 Para el momento y la energía

2.3 Para cuadrivectores

2.4 Forma tensorial general

3 Enlaces externos

Historia

Históricamente las transformaciones de Lorentz fueron introducidas por Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), que las había introducido fenoménicamente para resolver ciertas inconsistencias entre el electromagnetismo y la mecánica clásica. Lorentz había descubierto en el año 1900 que las ecuaciones de Maxwell resultaban invariantes bajo este conjunto de transformaciones, ahora denominadas transformaciones de Lorentz. Al igual que los demás físicos, antes del desarrollo de la teoría de la relatividad, asumía que la velocidad invariante para la transmisión de las ondas electromagnéticas se refería a la transmisión a través de un sistema de referencia privilegiado, hecho que se conoce con el nombre de hipótesis del éter. Sin embargo, tras la interpretación por parte de Albert Einstein de dichas relaciones como transformaciones de coordenadas genuinas en un espacio-tiempo tetradimensional la hipótesis del éter fue puesta en entredicho.

Las transformaciones de Lorentz fueron publicadas en 1904 pero su formalismo matemático inicial era incorrecto. El matemático francés Poincaré desarrolló el conjunto de ecuaciones en la forma consistente en la que se conocen hoy en día. Los trabajos de Minkowski y Poincaré mostraron que las relaciones de Lorentz podían interpretarse como las fórmulas de transformación para rotación en el espacio-tiempo cuatridimensional, que había sido introducido por Minkowski.

Véase también: Historia de la Relatividad Especial

Forma de las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz relacionan las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

De las coordenadas

Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores son relacionables por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores inerciales: O \, y \bar{O} y se supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

S_O = (t,x,y,z) \qquad S_{\bar{O}} = (\bar{t}, \bar{x}, \bar{y}, \bar{z})

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema \bar{O} está en movimiento uniforme a velocidad V\, a lo largo del eje X del sistema O\, y en el instante inicial (t = \bar{t} = 0) el origen de coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidas por los dos observadores están relacionadas por las siguientes expresiones:

\bar{x} = \frac{x - Vt}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}} \qquad \bar{t} = \frac{t - \frac{V x}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}} \qquad \bar{y} = y \qquad \bar{z} = z \,

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

x = \frac{\bar{x} + V\bar{t}}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}} \qquad t = \frac{\bar{t} + \frac{V \bar{x}}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}} \qquad y = \bar{y} \qquad z = \bar{z}

Donde c \, es la velocidad de la luz en el vacío. Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

\begin{bmatrix} c\bar{t} \\ \bar{x} \\ \bar{y} \\ \bar{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} c t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\bar{t} \\ \bar{x} \\ \bar{y}

...