Cálculo

I.1 Concepto:

Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio).

Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b = c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo primer elemento.

Una función es un conjunto de pares ordenados de elementos en la cual hay pares ordenados distintos no deben tener el mismo primer elemento.

Dada la función f(x)= 10 + 12x + 3x² - 2x³ evaluar la siguiente expresión.

f(3)= 10 + 12(3) – 3(3)² - 2(3)³ =

10 + 36 – 27 – 54 = -35

I.2 Graficación (Ejemplos)

Para construir la gráfica de una función se emplea el sistema de coordenadas rectangulares; los valores de dominio se ubican en el eje horizontal (eje X) y los valores de rango se ubican en el (eje Y).

La gráfica es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son valores correspondientes a la variable independiente (dominio) y de la variable dependiente (rango).

X Y

1 3

2 1

3 -1

4 -3

5 -5

Graficar la siguiente Función: Y= -2x + 5

X Y

-3 15

-2 8

-1 3

0 0

1 -1

2 0

3 3

4 8

Graficar la siguiente Función: f(x)= x² - 2x

X Y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Graficar la siguiente Función: f(x)= x²

I.3 Ejemplos de Funciones

Dada la función f(x)= x² - 4x + 5 evaluar las siguientes expresiones.

f(-2)= (-2)² - 4(-2) + 5=

4 + 8 + 5= 17

f( 1/2 )= ( 1/2 )² - 4(1/2) + 5=

1/4 – 2 + 5=1/4 + 3= 31/4

f(2 – h)= (2² - 2(2h) + h²) – 4(2 – h) + 5=

4 – 4h + h² - 8 + 4h + 5= 1+ h²

Dada la función f(x)= 10 + 12x – 3x² - 2x³ evaluar las siguientes expresiones.

2f( 1/2 )= 10 + 12( 1/2 ) – 3(1/2 )² - 2(-1)³=

10 + ( 12/2 ) - 5/4 - 2/8 = 15(2) = 30

f(-2)= 10 + 12(-2) – 3(-2)² - 2(-2)³=

10 – 24 – 12 + 16= -10

II. 1 Concepto

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarse del límite de una función, el límite de una sucesión, etc.

Cuando la variable x, se acerca “tiene un valor a” a la función f(x), tiene el valor f(a).

Esto significa que cuando x→a, por la izquierda y por la derecha, la función f(x) tiende a f(a) y se escribe como: █(lim@x→a)⁡〖 █(f(x)=f(a) )〗

Ejemplos: Encontrar los límites de las siguientes funciones.

█(lim@x→a)⁡〖 x²〗= 9

█(lim@x→2)⁡〖 █((x^2- 4))〗= 0

█(lim@x→2)⁡〖█( )3x²〗= 12

〖█(lim@x→2) 〗⁡〖(〖2x〗^2+x-1)/(4x-2)〗 = (2(2)^2+ 2-1)/(4(2)- 2) = (8+2-1)/(8-2) = 9/6

II.2 Tipos de Límites

Límites por sustitución:

El límite se calcula directamente con respecto a las propiedades de la función dada, sustituyendo a por x u otro valor dependiendo de Lim que se dé.

Límites indeterminados del tipo ((0 )/█(0)):

El límite de la forma 0/█(0), se resuelve utilizando procedimientos algebraicos. Para eliminar la identificación recurrimos a la factorización.

Los casos de factorización son:

Factor común: 〖ax〗^2+ 〖bx〗^(n-1) = x^(n-1) (ax+b)

〖 x〗^3 + 〖bx〗^2 = x^2 (ax+b)

Diferencia de cuadrados: x^2 - y^2= (x+y)(x-y)

Trinomio al cuadrado perfecto: a^2 ± 2ab + b^2= (a+b)^2

Trinomios de la forma: x^2+ (a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

Suma o diferencia de cuadrados: a^3 ± b^3= (a±b)(a^2± ab ±b^2 )

Límites indeterminados del tipo ( ∞/∞ ):

Estas formas se presentan al hacer qué la variable “x” tienda al infinito en el cociente de polinomios, por ejemplo:

Sí el numerador tiende a infinito y el denominador tiene límite, el cociente tiene infinito.

Sí el numerador tienes límite y el denominador tiende a infinito, el cociente tiende a cero.

Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a infinito, se tiene la forma indeterminada (∞/∞).

La indeterminación se puede eliminar dividiendo ambos términos por la variable de máxima potencia qué interviene en la expresión.

Este tipo de límites se resuelven tomando en cuenta los teoremas siguientes. En dónde C es una constante.

lim┬(x→0)⁡〖c/x〗=∞

lim┬(x→∞)⁡〖c/x=0〗

lim┬(x→∞)⁡〖c/xⁿ=0〗

Límites al infinito:

Si el valor de una función llega a crecer sin límite cuando la variable independiente “x” tiende a un valor “a” se dice qué la función tiende ó se hace infinito:

lim┬(x→a)⁡〖f(x)= ∞〗 Ó lim┬(x→a)⁡〖f(x)=-∞〗

II.3 Ejemplos de Límites

Encontrar el límite de las siguientes funciones.

〖lim〗┬(x→2)⁡〖(4x²〗-8x+5)= 4(2)² - 8(2) + 5= 16 – 16 + 5= 5

〖lim〗┬(y→-3)⁡〖(3-y)√(y²-9)〗= (6)√(9-9)= 0

〖lim〗┬(x→-2)⁡√(3x²+4)=

...