Programacion Lineal Problemas resueltos

-.PROGRAMACION LINEAL.- Problemas resueltos

EJEMPLO 1. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80$ por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60$ por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

El objetivo es minimizar el costo (en centavos), z, de una libra de albondigón, donde: Z = 80 veces el número de libras de carne molida de res, más 60 veces el número de libras de carne molida de cerdo empleadas.

Si se define: X1 = número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón . X2 = número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón, el objetivo se expresa como: minimícese: z = 80X1 + 60X2 (1)

Cada libra de albondigón tendrá 0.20 x1, libras de grasa provenientes de la carne de res y 0.32 x2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total de grasa de una libra de albondigón no debe ser mayor de 0.25 libras. Entonces: 0.20X1 +0.32X2 <= 0.25 (2) El número de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de albondigón debe sumar 1; entonces:

X1 + X2 = l (3)

Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, así que hay dos restricciones de no negatividad: X1>= 0 y X2 >= 0. Combinando estas condiciones con (1), (2) y (3), se tiene: minimícese: z = 80X1 + 60X2 con las condiciones: 0.20 X1 + 0.32X2 <= 0.25 (4) X1 + X2 = 1 con: con todas las variables no negativas

El sistema (4) es un programa lineal. Como sólo hay dos variables, se puede dar solución gráfica.

EJEMPLO 2. Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 Ib que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la selección, ha asignado un valor a cada articulo en orden ascendente de importancia:

Articulo 1 2 3 4 5

Peso, Ib 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 15

¿Qué artículos deberá llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restricción de peso?

Haciendo que Xi (i = 1, 2, 3, 4, 5) indique la cantidad a llevar del artículo I, se puede plantear el objetivo como: maximícese: z = 1OO X1 + 60 X2 + 70 X3 + 15 X4 + 15 X5 (/) La restricción de peso es: 52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 <= 60 (2)

Ya que cada artículo se llevará o no se llevará, cada variable debe ser 1 o 0. Estas condiciones se cumplirán, si se pide que cada variable sea no negativa, no mayor que 1 y entera. Combinando estas restricciones con (1) y (2), se tiene el programa matemático:

maximícese: z = 1OO X1 + 60 X2 + 70 X3 + 15 X4 + 15 X5 con las condiciones: 52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 <= 60 X1 <= 1 X2 <= 1 (3) X3 <= 1 X4 <= 1 X5 <= 1 con: todas las variables enteras no negativas. El sistema (3) es un programa entero

EJEMPLO 3. La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la Azteca de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Presión máxima de vapor

Octanaje minimo

Demanda máxima, barriles/ semana

Entregas j mínimas, barriles/ semana

Regular Extra

23 23

88 93

100000 20000

50000 5000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Presión de vapor

Octanaje Inventario barriles

Costo S/barril

Nacional Importado

25 15

87 98

40 000 60000

8 15

¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la Azteca en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal?

Haciendo: X1 barriles de petróleo nacional mezclado en la regular X2 barriles de petróleo importado mezclado en la regular X3 barriles de petróleo nacional mezclado en la extra X4 barriles de petróleo importado mezclado en la extra

Se producirá una cantidad X1 + X2 de gasolina regular y generará un ingreso de 12(X1 + X2) , se producirá una cantidad X3 + X4 de extra y generará un ingreso de 14(X1 + X2) . Se usará una cantidad X1 + X3 de petróleo nacional, a un costo de 8(X1 + X3); se usará una cantidad X2 + X4 de importado, a un costo de 15(X1 + X3) . La ganancia total, z, es el ingreso menos el costo: maximícese: z = 12(X1 + X2) + 14(X3 + X4) - 8(X1 + X3) - 15(X2 + X4 ) = 4X1-3X2 + 6X3- X4 ( 1)

Hay limitaciones impuestas a la producción por la demanda, la disponibilidad de suminis- tros y las especificaciones de la mezcla. Se tiene de las demandas: X1 + X2 <= 100 000 (demanda máxima de regular) (2) X3 + X4 <= 20000 (demanda máxima de extra) (3) X1 + X2 >= 50000 (requerimiento máximo regular) (4) X3 + X4 >= 5000 (requerimiento mínimo de extra) (5)

De la disponibilidad: X1 + X3 <= 40000 (nacional) (6) X2 + X4 <= 60000 (importado) (7)

Los componentes de una mezcla contribuyen al octanaje general, según sus porcentajes por peso; asimismo para la presión de vapor. Entonces, el octanaje de la regular es:

87 X1/(X1+X2) + 98 X2/(X1+X2)

y el requerimiento de que éste sea de por lo menos 88, lleva

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