Problemas Resueltos De Programación Lineal

OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA - SETIEMBRE 2005

PROBLEMAS DEL TEMA 1 :

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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1) Para cada una de las funciones siguientes, dar dominio, buscar si existen extremos relativos o absolutos, analizar la curvatura de la función, buscar puntos de inflexión, calcular asíntotas horizontales y verticales y graficar. Dar luego el rango de la función.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2) Supongamos que el coste total de fabricación de 20 artículos viene dado por: euros.

a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 20 artículos?

b) ¿Cuál es el coste de fabricación del vigésimo artículo?

c) Exprese el coste de fabricación medio por artículo como función de x.

d) ¿Para qué valor de x es mínimo el coste medio?

e) ¿Para qué valor de x es el coste medio igual al marginal?

3) Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa:

para

para

siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determínese la producción para obtener el máximo beneficio.

4) La curva de coste total de un artículo es , donde y representa el coste total y x la cantidad producida. Suponga que las condiciones del mercado indican que deberán producirse entre 0 y 10 unidades ( ). Se pide:

a) Obtener la curva de coste medio.

b) Estudiar los óptimos relativos de la curva de coste medio.

c) Comparar los óptimos obtenidos con los valores de la función coste medio en los extremos del intervalo de producción que indica el mercado.

5) A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la maquinaria que utiliza se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la plantilla óptima del taller.

Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento, obteniéndose los siguientes datos:

I. La reparación de una máquina requiere, por término medio, 3 obreros/día.

II. La capacidad del taller permite reparar x máquinas por día. El número medio de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller viene determinado por 10/(x-10).

III. La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de 200u.m./h por obrero.

IV. El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m. por día.

Determine ese número óptimo de obreros.

6) Con el fin de adquirir una empresa se efectúa un estudio de la estructura de costes totales y de demanda de la misma, obteniéndose:

I. Los costes fijos vienen dados por la función y los costes variables por la función , siendo x las unidades producidas y el coste de la mano de obra.

II. La demanda del mercado viene dada por la función , siendo p el precio de la unidad vendida.

En el supuesto de que la empresa coloca en el mercado toda la producción, se pide:

a) El nivel de producción que proporciona el beneficio óptimo.

b) El precio por unidad para ese nivel de producción.

c) La elasticidad de la demanda para el precio que maximiza el ingreso total. Compruébese que el

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