Raiz Cuadrada Con Amplificadores

SOPORTE TEORICO

Amplificador Logarítmico y antilogarítmico

Son circuitos que basan su funcionamiento debido a la tierra virtual, principalmente en este análisis, se enmarcan estos dos circuitos funcionando con la ayuda de un diodo, no obstante en la práctica para obtener mejores resultados es mejor usar una conexión de transistores y el resultado de que el voltaje de salida varíe logarítmicamente el voltaje de entrada está dado por el circuito de la figura.

[1] figura- op amp como logaritmador con diodo

Se observa que el circuito solo funciona para vi positivo ya que el diodo quedaría en directo y con ayuda de la resistencia, se transforma a vi en una corriente que pasa por el diodo que obliga la salida a ser un voltaje proporcional al logaritmo de la corriente de entrada.

Vo≈-ή*Vt*ln( i/I0+1)

[1] Ecuación

En donde VT=kT/q≈26mV @300°K; Io se conoce como la corriente de saturación del diodo y ή es un factor que varía entre 1 y 2 dependiendo del tipo de material del semiconductor.

Típicamente ήVt=40mv a temperatura ambiente y con un diodo se silicio; por ultimo observando el operador dentro del logaritmo, si i>>Io se puede despreciar el “+1” obteniendo la ecuación de este modo ahora.

Vo≈-ήVtln( i/I0) i>>Io

[2] Ecuación

Al intercambiar el diodo y la resistencia, se obtiene el circuito exponencial o antilogaritmo.

[2] figura- op amp como antilogaritmador con diodo

Como se ha observado con el amplificador logaritmo, en forma similar con este circuito es que es necesario que el diodo se encuentre en directo para poder obtener un funcionamiento para el cual es necesario que Vi sea negativo, aplicando el concepto de masa virtual se llega a:

Vo〖=Io*R(e〗^((-Vt/ήVt))-1)

[3] Ecuación

Los amplificadores logaritmo y antilogaritmo pueden aprovechar las características exponenciales de un transistor bjt polarizado directamente en reemplazo del diodo, esta característica se expresa mediante el voltaje entre base y emisor como Vtln(ic/is) ,pero al tener en cuenta también elementos como corrientes de base, se implementa el siguiente circuito que prácticamente elimina la dependencia de temperatura y de tipo de material.

[3] figura- op amp logaritmador con transistores bjt

La corriente I se obtiene.

I=(Vcc-VBE)/Rp

[4] Ecuación

La relación entre I, voltaje de entrada y de salida está dada por la expresión.

Vo=-((R1+R2)/R1)Vtln(I/R Vi)

[5] Ecuación

De una manera similar, para obtener el circuito del antilogaritmo independiente de la temperatura y materiales se hace una configuración similar con la diferencia de que esta vez el voltaje Vi pasara por la entrada no inversora del primer amplificador, de la siguiente manera.

[4] figura- op amp anti-logaritmador con transistores bjt

En este circuito Vo está relacionado de la siguiente manera.

Vo=R3*I〖Ln〗^(-1) (-Vi*R1/(Vt*(R1+R2)))

[6] Ecuación

Diseño

El problema a solucionar es el cálculo de la raíz cuadrada de un número, se utilizan las propiedades de los logaritmos, para ello la expresión de una raíz se puede mediante una potencia del número A elevado a ½ de la siguiente manera.

Ln (√A)=1/2 Ln(A)

Si la señal de ln(A) se pasa por un amplificador de ganancia ½ y por último se pasa por un antilogaritmo se obtiene.

〖Ln〗^(-1) (1/2 Ln(A))=√A

Según la ecuación 5 y 6 las expresiones de logaritmo y antilogaritmo están acompañadas de elementos que agregan valores y signos a la expresión, para ello se inicia con el circuito que obtenga e valor de logaritmo de A o voltaje de entrada.

Para el circuito de la figura 3 se tiene la expresión de la ecuación 4

Vo=-((R1+R2)/R1)Vtln(I/R Vi)

Con una alimentación de 10V se escoge una corriente I=1mA y R=1KΩ para que el logaritmo este en términos de Vi únicamente si se escoge R1=R2=10KΩ la ecuación final está dada por.

Vo=-2Vt*ln(Vi)

Por último se diseña la pate del antilogaritmo, recordando su ecuación (6) según la figura 4

Vo=R3*I〖Ln〗^(-1) (-Vi*R1/(Vt*(R1+R2)))

Al tomar como Vi del antilogaritmo la salida del circuito del amplificador logaritmo, se obtiene que.

Vo=R3*I〖Ln〗^(-1) ( 2Vt*ln(Vi) *R1/(Vt*(R1+R2)))

[7] Ecuación

En donde se puede observar que el parámetro Vt se elimina y deja de ser un impedimento para obtener la salida deseada, solo queda determinar el factor R1/R1+R2 como ¼ para obtener la expresión 1/2 Ln(V1) con el cual se escoge R1=10KΩ y R2=30KΩ como ecuación final se obtiene

Vo=R3*I〖Ln〗^(-1) ( ln(Vi) *1/2)

Vo=R3*I√Vi

Es necesario que R3*I=1 para ello se escoge R3= 1KΩ y R1=1mA lo cual ayuda a obtener el objetivo del diseño.

Finalmente el circuito completo que realiza la operación de raíz cuadrada es:

[5] figura- op amp calculador de raiz cuadrada

Simulación

Utilizando multisim 11.0 y realizando el circuito de la figura 5 se obtiene la siguiente simulación.

[6] figura- simulación calculador de raíz cuadrada

Al obtener valores de vi =4v se obtiene que

[8] figura- simulación

Vi=5V

[9] figura- simulación

Desarrollo

Conclusiones

El principal inconveniente practico del amplificador logaritmo y antilogaritmo es su nivel alto de dependencia a el factor de la temperatura, tanto Vt como Io varían respecto a ella, limitando el circuito a el funcionamiento esperado.

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