Anillo (matemática)

Anillo (matemática)

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto: (A+,*); de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1)

Ejemplo de un anillo

El ejemplo más intuitivo y familiar de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación. Históricamente, el conjunto Z de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque poseen las siguientes propiedades:

Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.

La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).

Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.

Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.

La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.

Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.

La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).

Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.

La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

[editar]Definición formal

Sea A un conjunto no vacío, y sean y dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación.

2. La operación es asociativa.

3. La operación tiene a n como elemento neutro.

4. Existe un elemento simétrico para .

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación es conmutativa.

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6. A es cerrado bajo la operación.

7. La operación es asociativa.

8. La operación es distributiva respecto de .

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación es conmutativa.

[editar]Definición sintética

Usando Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin:

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:

R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;

R2. R es un semigrupo para la multiplicación;

R3. La multiplicación es distributiva( a los dos lados) respecto a la adición.

[editar]Ejemplos

El conjunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H es subconjunto del conjunto C de los complejos. con la adición y múltiplicación usuales.

El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación es un anillo no conmutativo.

El conjunto Q(?) de los números reales: m +n? donde m, n están en Q, conjunto de los racionales y ? es el real que ?*? = 3. Leyes de composición: adición y multiplicación.

El conjunto Z[6] de los restos módulo 6; con la adición y multiplicación de restos; es un anillo finito con divisores de 0.

El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.

[editar]Elementos destacados en un anillo

Elemento cero: denotado por . Es el neutro para la suma.

Observación: Sea A un anillo arbitrario. Demostración: . Luego . Restando el inverso aditivo de , que existe dado que A es un grupo para la suma, Pero . Finalmente

Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.

El elemento cero y el elemento unitario sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial ( {0} ): Demostración: Sea Luego,

Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de si . Así mismo, es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de si . Un elemento se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de si es inverso por la izquierda de e inverso por la derecha de , es decir, .

Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).

Elemento inversible, o elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

Divisor del cero: un elemento es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a•b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c•a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

Elemento regular: un elemento de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es

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