Argumentacion Matematica

LA IMPORTANCIA DE LA DEMOSTRACION MATEMÁTICA.

El concepto de demostración, es uno de los conceptos matemáticos centrales en la matemática y por lo tanto es indispensable su transmisión a los alumnos especialmente a los estudiantes de nivel media, ya que a esa edad los jóvenes desarrollan su potencial intelectual. Sin embargo no siempre se realiza de manera satisfactoria, ya que no todos los docentes tiene la habilidad desarrollada de representa las matemáticas en el aula, esto le facilitaría a los estudiantes al aprendizaje. En este ensayo se plantea la base del reconocimiento de las dificultades que presentan los alumnos tanto para comprender la necesidad de las demostraciones en la matemática, como para realizarlas.

En él se presentan brevemente algunas concepciones que tienen los docentes de matemática y los estudiantes de profesorado de matemática en relación con la importancia de trabajar con argumentaciones y demostraciones en el aula de matemática.

El conocimiento matemático se sustenta en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza de forma directa, que corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir lógica. Estos modos de conocimiento, aunque de naturaleza distinta, son complementarios e indispensables en la matemática. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo.

En la enseñanza de la matemática no se debe descartar ninguna forma de razonamiento: inductivo o deductivo. Obviamente, no se puede ni se debe pretender, sin embargo, que los alumnos se muevan dentro de un marco axiomático riguroso y formal. Esta forma de razonar requiere de una madurez que recién comienza a alcanzarse en los últimos años de la adolescencia y cuyo pleno manejo requiere de un desarrollo más profundo del pensamiento. Sin embargo, desde edades tempranas, es necesario que los niños aprendan a intuir, plantear hipótesis, hacer conjeturas, generalizar y cuando sea posible, ensayar pequeñas argumentaciones y demostraciones, aunque sin exigencia de formalización. A nivel de aprendizaje, la forma de razonar puede tener tanto interés como los propios contenidos conceptuales, porque el razonamiento es en sí mismo un gran contenido a aprender.

La intuición, entendida como la captación primera de conceptos que nos permite comprender lo que nos rodea, surge desde la niñez y constituye el punto de partida en la investigación y en el aprendizaje. Ante el planteo de un problema matemático, debe despertarse el interés, basado en la aceptación de la incertidumbre como parte del proceso de aprendizaje. La intuición, por momentos saltea escalones del razonamiento lógico. Es cierto que este método puede conducirnos por caminos falsos, por ello es necesario extremar el cuidado, pero debe aprovecharse la intuición para ayudar al aprendizaje. Debemos recordar que en los niveles elemental, básico y medio, no se están formando matemáticos, se está enseñando a usar la matemática y educando en la comprensión y el manejo del método de esta ciencia. Se está enseñando a pensar lógicamente. Hace falta educar a la intuición.

El concepto de demostración matemática no ha sido siempre el mismo, ha evolucionado notablemente a través de la historia. Esta idea es relativa y varía de una cultura a otra. La historia del desarrollo de la matemática es, en cierto modo, la historia de la relación entre los dos aspectos del conocimiento: intuición y lógica.

La mayoría de las ciencias parte de la inducción como método para enunciar sus proposiciones. El razonamiento inductivo se basa en la elaboración de conjeturas e hipótesis que partiendo de un conjunto de observaciones conducen a la generalización de propiedades. En la matemática, este método puede ser el punto de partida para la búsqueda de regularidades en un grupo de datos que pueden ser de naturaleza diversa (números, gráficas, formas geométricas, etc.) hacia la formulación de generalizaciones sobre la base de lo observado. Probar una propiedad requiere de la deducción que la independiza de la experiencia y la torna universal.

En relación a la lógica, es fundamental motivar a los alumnos en la capacidad para detectar inconsistencias en los razonamientos propios y ajenos, pues esta mirada crítica les permitirá poder avanzar hacia distintos niveles de pensamiento. El proceso deductivo a nivel de enseñanza plantea limitaciones y posibilidades, pues en él intervienen no sólo cierto dominio de los conocimientos como una cierta habilidad en el manejo de principios lógicos que requieren de madurez de pensamiento. En los primeros niveles de la enseñanza no tiene sentido plantear deducciones en el sentido riguroso de la palabra. Recién hacia los diez y seis años se va formando en el ser humano la capacidad de abstracción necesaria para comenzar a interiorizar el pensamiento formal. Para llegar a esto es imprescindible desde un principio desarrollar habilidades deductivas, teniendo en cuenta las limitaciones de cada caso.

LA DEMOSTRACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICA.

La demostración es una herramienta muy útil y necesaria no solo para los primeros años de estudio, sino en cualquier nivel y para cualquier asignatura, ya que matemáticas es la asignatura que ayuda al desarrollo cognitivo e intelectual del estudiante.

Muchas veces, en la tarea docente, hemos enfrentado la situación en la cual los alumnos no comprenden la necesidad de la demostración de propiedades en matemática ya si el maestro no las enseña, por ende los estudiantes las desconocen. En ciertas oportunidades se contentan con una simple verificación, en otras “creen” la propiedad, pues les resulta evidente. Aun cuando puedan llegar a comprender que en ciertos momentos es necesario demostrar una propiedad, la dificultad de asumir la exigencia de las demostraciones en las ciencias formales se complica más aún cuando ellos son quienes realizan estas demostraciones. Las distintas formas del pensamiento lógico no siempre son logradas satisfactoriamente por los alumnos en la escuela.

La demostración en clase de matemática presenta una gran diversidad de formas, y aparece en los distintos niveles educativos a través de variados tipos de argumentaciones. El pensamiento deductivo se va construyendo lentamente a lo largo de las distintas etapas de la escuela. Esto no significa que se logre realmente su construcción de manera sólida. Es común encontrar alumnos universitarios que aún no han logrado dominar este contenido procedimental. (Ibañes y Ortega, 1997).

Los matemáticos, habituados a demostrar, consideran muchas veces

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