Binomio al cuadrado

PRODUCTOS NOTABLES

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Ejemplos

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 =

= x2 + 6 x + 9

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 =

= 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - FACTOR COMÚN:

Como su nombre lo dice se refiere a una expresión algebraica común entre los términos de un polinomio, esta expresión debe estar multiplicada por un polinomio en el cual cada uno de los términos se encuentran dividiendo el respectivo término para el factor común; en tantos más términos existan surge la necesidad de realizar agrupamientos y a estos encontrarles un factor común.

Factores primos: son los números para los cuales es divisible determinado número.

• Máximo común divisor (m.c.d): es el mayor de los divisores comunes de dos o más números.
• Mínimo común múltiplo (m.c.m.): es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números.

Factor común de un polinomio: primero se determina el m.c.d de todos los coeficientes del polinomio (números) multiplicado por el cociente de dividir el polinomio para el factor común.

Factorización por agrupación de términos: primero se agrupa los términos que tienen algún factor común, se factoriza y se reduce la expresión existiendo la posibilidad de que haya un factor común entre los términos factorados. Ejemplo:

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Factorización de la diferencia de cuadrados perfectos: equivale a la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de los términos. Ejemplo:

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Factorización de cubos perfectos.

Suma y diferencia: de la misma que en el caso del binomio, en el trinomio se multiplica un binomio formado por la suma de las raíces cúbicas; y un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces y más el cuadrado de la segunda raíz. En el caso a se visualiza la suma de cubos perfectos y en el caso b la resta. Ejemplo:

1. Si es suma de cubos perfectos: [pic 8]
2. Si es resta de cubos perfectos: [pic 9]

Factorización de trinomios cuadrados perfectos: se encuentran las raíces de los términos cuadráticos, verificando que cumpla la existencia del doble producto del primer término por el segundo término.

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Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción: el método de adición o sustracción se utiliza cuando no son trinomios perfectos, o tienen  la forma: , en donde m no satisface la condición de doble producto del rimero por el segundo término. Para resolver se debe sumar y restar un término que ayude a cumplir esta condición, luego agrupar y resolver como si se tratara de un trinomio perfecto sumado y restado el término sobrante en cada paréntesis. [pic 11]

Ejemplo:

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LOS DIEZ CASOS DE FACTOREO

CASO 1: EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON:

FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO

FACTOR COMÚN MONOMIO

Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

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