Calculo

CONTINUIDAD

María

CÁLCULO

Instituto IACC

13 de octubre de 2014

Desarrollo

1. Considere la función f: IR  → IR definida por

f (x) =     _____x_____

                                     ( x - 1)2 + 1

Estudio la continuidad de la función en todo su dominio.

Se busca un posible valor de x que haga que la función se indetermine

    ( x - 1)2 + 1 = 0

     x2 -2x +1 + 1 = 0

     x2 -2x +2 = 0

   Pero ∀ x Є IR  x2  - 2x  + 2 ≠ 0

   Pues ∆ = 4 – 4 *1 *2 < 0

   Vemos que Dom f: IR

    f  es continua en todo IR

1. Considere la función f: IR - {1} → IR definida por:

f (x) =     _x4  - x2 + x - 1

                                           x - 1

   Esta función no está definida en x= 1 y por lo tanto no es continua ¿puede extender la función    de manera que sea continua?

Factorizo usando Ruffini

 x4  - x2 + x – 1, vemos que x = 1 es una raíz del polinomio, en efecto (1)4 -  (1)2 + 1 – 1 = 0, luego

1        1         0      -1        1          -1 [pic 1][pic 2]

1        1       0                 1           0

Luego,

x4  - x2 + x – 1 = ( x-1) ( x3 + x2  + 1 )

por lo que

[pic 3]

f (x) = ( x-1) ( x3 + x2  + 1 )

                   ( x-1)[pic 4]

f (x) = ( x3 + x2  + 1 ) , ∀ x ≠ 1

Entendemos f de modo que sea continua en x = 1

Tenemos:

Lim    _x4  - x2 + x - 1

x→  1           x - 1

[pic 5]

Lim    _( x-1) ( x3 + x2  + 1 )   = (1)3 +  (1)2 + 1 = 3

x→  1              ( x-1)[pic 6]

Entonces : una nueva función continua será

  x4  - x2 + x – 1      si x ≠  1

                   x – 1

g(x)=

                           3                    si  x = 1

En efecto,  g  es continua en todo IR:

1. x = 1 Є Dom g

1. Lim    g(x)= 3, existe

           x→  1 

1. g(1)= Lim    g(x)= 3

            x→  1 

1. Considera la función                           2* sen (x-1)      si x ≠ 1

        x3 – 1

            f: IR  → IR definida por        f (x)=               a               si x = 1

1. Determine el valor de la constante a para que la función sea continua en x= 1

Vemos que:

 Lim    f(x)  =    Lim    2* sen (x-1)     

        x→  1                          x3 – 1

  Lim      ____2* sen (x-1)_____      

        x→  1       ( x – 1) * (x2  + x + 1)      

   Lim     sen (x-1)      *   Lim      __  2___    

        x→  1        x – 1                 x→  1    x2  + x + 1    

                L1 

        Para L1 si tenemos u = x-1

            Si x→  1,    u→  0,   luego

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