Cálculo de raíces de polinomios

Cálculo de raíces de polinomios

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido.

 Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...

La determinación de las soluciones de la ecuación (A) puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).

Reglas:

• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a, b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros: 

[pic 1]

Entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.

Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación: 

3X3 + 3X2 - X - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3: 

[pic 2]

y después multiplicamos por 32: 

y3 + 3y2 -3y -9 = 0

Con lo que los candidatos a raíz del polinomio son: 

Y=9, Y=-9        

 Y=3, Y=-3        

Y=1, Y=-1

La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.

ECUACION POLINOMICA

Una ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios.

Por ejemplo:

x 3 y + 4x – y = 5 -2xy

Forma Canónica

Para realizar una ecuación canónica se igualan todos los términos de la ecuación a cero y de ahí se ordena de acuerdo al que tenga mayor denominada forma canónica de la ecuación, obtenemos:

x3  y + 2 x y + 4 x – y – 5 = 0

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

2 X 3 – 5 X 2 + 4 X + 9 = 0

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 . La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Ejemplo

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

METODO DE RUFFINI

Ejemplo

X3-6X+11X-6                        Identificamos el término independiente

1        -6        +11          -6              Colocamos los coeficientes y el término independiente

                 -1    -2   -3   -6

    +1   +2  +3  +6                              Determinar los divisores del término independiente

[pic 3]

     +1      -6        +11          -6              Empezamos a probar    

                         +2                     +2      -8       +6                      [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

                                        +1      -4      +3         0                          X1=2, X2=3, X3=1[pic 8]

                         +3                    +3      -3[pic 9][pic 10][pic 11]

                                        +1     -1        0

                          +1                  +1[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

                                       +1      0[pic 16]

Método de Horner

Ejemplo

 P (x) = 2 8 x 4   +   2 x 3   +   7 x 2   +   22 x   - 16 [pic 17]

                               7 x 2   -   3 x   +   5

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