EJERCICIOS DE ESTADISTICA

5-22 Harley Davidson, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Harley contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica?

Para responder a la pregunta anterior utilizaremos la distribución nominal.

n!/r!(n-r)! p^(r ) q^(n-r)

Sabemos que n=10 p=0.02 q= 0.98 entonces buscaremos la probabilidad de:

(x>2)= (x=3)+(x=4)+(x=5)+(x=6)+(x=7)+(x=8)+(x=9)+(x=10)

Primero hay que calcular (x=3)+(x=4)+(x=5)+(x=6)+(x=7)+(x=8)+(x=9)+(x=10) de acuerdo a la formula de distribución binomial tenemos:

r= 0 n= 10 p= 0.02 q= 0.98

Ahora calcular (x=3):

(x=3)=10!/3!(10-3)! 〖(0.02)〗^(3 ) 〖(0.98)〗^7

(x=3)= (120)(0.000008)(0.869)

(X=3)= 0.000833

(x=4)=10!/4!(10-4)! 〖(0.02)〗^(4 ) 〖(0.98)〗^6

(x=4)= (210)(0.00000016)(0.886)

(X=4)= 0.0000298

(x=4)=10!/4!(10-4)! 〖(0.02)〗^(4 ) 〖(0.98)〗^6

(x=4)= (210)(0.00000016)(0.886)

(X=4)= 0.0000298

(x=5)=10!/5!(10-5)! 〖(0.02)〗^5 〖(0.98)〗^5

(x=5)= (252)(0.0000000032)(0.904)

(X=5)= 0.000000729

(x=6)=10!/6!(10-6)! 〖(0.02)〗^(6 ) 〖(0.98)〗^4

(x=6)= (210)(0.000000000064)(0.0000000124)

(X=6)= 0.0000298

(x=7)=10!/7!(10-7)! 〖(0.02)〗^(7 ) 〖(0.98)〗^3

(x=7)= (120)(0.00000000000128)(0.941)

(X=7)= 0.000000000144

(x=8)=10!/8!(10-8)! 〖(0.02)〗^(8 ) 〖(0.98)〗^2

(x=8)= (45)(0.0000000000000256)(0.9604)

(X=8)= 0.00000000000110

(x=9)=10!/9!(10-9)! 〖(0.02)〗^(9 ) 〖(0.98)〗^1

(x=9)= (10)(0.000000000000000512)(0.98)

(X=9)= 0. 0000000000000005017

(x=10)=10!/10!(10-10)! 〖(0.02)〗^(10 ) 〖(0.98)〗^0

(x=10)= (1)(0. 0000000000000001024)(1)

(X=10)= 0. 0000000000000001024

Entonces calculamos (x>2)=(x=3)+(x=4)+(x=5)+(x=6)+(x=7)+(x=8)+(x=9)+(x=10

(x>2) = 0.000833 + 0.0000298 + 0.0000298 + 0.000000729 + 0.0000298 + 0.000000000144 + 0.00000000000110 + 0. 0000000000000005017 + 0. 0000000000000001024

(x>2)= 0.0008632

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica?

Utilizando la misma formula calcularemos (x=0) de la siguiente manera:

(x=0)=10!/0!(10-0)! 〖(0.02)〗^(0 ) 〖(0.98)〗^9

(x=0) = (1)(1)(0.8171)

(x=0) =0.8171

5-23 Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad grande. Últimamente, se ha estado preocupando acerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el seguro de desempleo en realidad tengan un trabajo en secreto. Sus asistentes estiman que 40% de los beneficiarios del seguro de desempleo entra en esta categoría, pero la señora Bruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigación de 10 beneficiarios del seguro tomados al azar.

a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón, ¿cuál es la probabilidad de que los individuos investigados tengan un empleo? (No utilice las tablas.)

Sabemos que n=10 p=.40 q=.60. Utilizando la formula de distribución binomial para calcular la probabilidad de que todos tengan empleo (x=10)

(x=10)=10!/10!(10-10)! 〖(0.40)〗^(10 ) 〖(0.60)〗^0

(x=10)= (1)(0. 0001048)(1)

(X=10)= 0. 0001048

b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de que sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? (No utilice las tablas.)

Con los mismos datos ahora buscamos que solo 3 tengan trabajo (x=3)

(x=3)=10!/3!(10-3)! 〖(0.40)〗^(3 ) 〖(0.60)〗^7

(x=10)= (120)(0. 064)(0.02799)

(X=10)= 0. 215

5-24 Un mes más tarde, la alcaldesa Bruns (del ejercicio anterior) toma la edición matutina del principal diario de la ciudad, el Sun-American, y lee la noticia sobre un fraude en los seguros de desempleo. En el artículo, el periódico afirma que, de cada 15 beneficiarios del seguro de desempleo, la probabilidad de que cuatro o más tengan en realidad un empleo es de 0.9095, y que el número esperado de beneficiarios con trabajo excede de siete. Usted es un asistente especial de la señora Bruns y debe responder a estas afirmaciones en una conferencia de prensa que se llevará a cabo esa misma tarde. Ella le pide a usted que encuentre la respuesta a las preguntas siguientes:

a) ¿Son las afirmaciones del Sun-American congruentes entre sí?

No porque las afirmaciones tienen probabilidades diferentes es decir con la primera desarrollándolo coincide con la de los asistentes de la alcaldesa p= 0.40.

n = 15 x=0, 1, 2

P (x=0 + x=2 + x=3) = 0.0905

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