Ejercicio Estadística

2) Las estaturas de 27 jóvenes, en cm, son las siguientes:

156

155 178 170 165 173 168 160 166 176

169 158 170 179 161 164 170 171

167 151 163 158 164 174 176 164 154

a) Tabular los datos en intervalos de clase de amplitud 5.

b) Incluir en la tabla las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias relativas, los tantos por ciento y las frecuencias relativas acumuladas.

c) Hallar la Media, la Mediana, la Moda, los Cuartiles y la Desviación Típica.

d) Dibujar los datos en un gráfico adecuado.

Solución:

a) Tabular los datos en intervalos de clase de amplitud 5.

Se trata de una variable estadística continua, por lo que tiene sentido tabular los datos en intervalos.

Calculamos los valores mayor y menor de la muestra: 179 y 151.

La diferencia es el rango: R = 179-151 = 28.

Localizamos el múltiplo de 5 (la amplitud de los intervalos) más próximo a 28 pero mayor o igual que 28: 30. Ésta será la amplitud total de todos los intervalos de clase.

Dividiendo 30/5 = 6 obtenemos el número total de intervalos de clase.

Si empezamos el primero de los intervalos en 150 (por ejemplo) como la amplitud total de todos los intervalos será 30, terminaremos en 150+30 = 180. Estas elecciones son válidas, porque cubrimos desde el menor valor (151) hasta el mayor valor (179) de la muestra.

Construimos la tabla con los intervalos resultantes: [150, 155); [155, 160); [160, 165); [165, 170); [170, 175); [175, 180] y haciendo un recuento de cuantos datos de la muestra caen dentro de cada uno de ellos (es decir, las frecuencias absolutas):

xi fi

[150, 155) 2

[155, 160) 4

[160, 165) 6

[165, 170) 5

[170, 175) 6

[175, 180] 4

n = 27

La suma de la columna de las frecuencias es el número total de datos n = 27.

Añadimos una columna con las marcas de clase. Éstas son los puntos medios de cada uno de los intervalos. Hay dos formas de calcularlos:

1) Sumamos los extremos del intervalo y dividimos el resultado entre 2. Por ejemplo, para el primer intervalo, la marca de clase es (150+155)/2 = 152,5.

2) Calculamos la mitad de la amplitud de los intervalos: 5/2 = 2,5. Sumamos esta mitad al extremo inferior de cada intervalo y nos sale la marca de clase. Para el primer intervalo es: 150+2,5 = 152,5.

La tabla, con la columna de marcas de clase, es:

xi fi

[150, 155) 152,5 2

[155, 160) 157,5 4

[160, 165) 162,5 6

[165, 170) 167,5 5

[170, 175) 172,5 6

[175, 180] 177,5 4

n = 27

A partir de ahora, trabajamos la tabla como si fuera una tabla de datos sin agrupar en intervalos (es decir, ignoraremos la primera columna). Entonces, para los cálculos, supondremos que los datos son las marcas de clase, con lo que sería como si 152,5 se repitiera 2 veces (su frecuencia), 157,5 4 veces, etc.

b) Incluir en la tabla las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias relativas, los tantos por ciento y las frecuencias relativas acumuladas.

Las frecuencias absolutas acumuladas son la suma de las frecuencias absolutas de todas las filas que están por encima del dato actual, incluida la fila de dicho dato:

xi fi Fi

[150, 155) 152,5 2 2 El mismo valor que en fi

[155, 160) 157,5 4 6 El valor anterior de Fi (2) más el de fi de al lado (4)

[160, 165) 162,5 6 12 El valor anterior de Fi (6) más el de fi de al lado (6)

[165, 170) 167,5 5 17 12+5

[170, 175) 172,5 6 23 17+6

[175, 180] 177,5 4 27 23+4

n = 27

Las frecuencias relativas son los cocientes entre las frecuencias absolutas y n:

xi fi Fi hi

[150, 155) 152,5 2 2 2 / 27 = 0,0740

[155, 160) 157,5 4 6 4 / 27 = 0,1481

[160, 165) 162,5 6 12 6 / 27 = 0,2222

[165, 170) 167,5 5 17 5 / 27 = 0,1852

[170, 175) 172,5 6 23 6 / 27 = 0,2222

[175, 180] 177,5 4 27 4 / 27 = 0,1481

n = 27

La suma de las frecuencias relativas debe ser 1. Si las sumamos escritas en forma de fracción, en efecto resulta 1. No es así en forma decimal a causa de los redondeos (se desprecian muchos decimales).

Los tantos por ciento son las frecuencias relativas multiplicadas por 100:

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