Ejercicios de Programación Lineal

Ejercicios de Programación Lineal

• 7-14

Acondicionador (X) Ventilador (Y) Horas disponibles

Cableado 3 2 240

Perforación 2 1 140

Utilidad 25 15

Sea los acondicionadores el eje horizontal (X)

Sea los ventiladores el vertical (y)

Restricciones:

1. Horas de cableado no deben superar las 240:

3X + 2Y ≤ 240

2. Horas de perforación no deben superar las 140:

2X + Y ≤ 140

3. Los valores de los acondicionadores y de los ventiladores deben ser reales:

X, Y ≥ 0

Ecuación de utilidad: 25X + 15Y

Puntos de restricción cableado (ecuación 1)

Cuando no se producen acondicionadores:

X= 0 → 3(0) +2Y = 240 → Y = 240/2 → Y= 120 → (0, 120)

Cuando no se producen ventiladores:

Y=0 → 3X + 2(0) = 240 → X= 240/3 → X= 80→ (80, 0)

Puntos de restricción perforación (ecuación 2)

Cuando no se producen acondicionadores:

X=0 → 2(0) +Y1= 140 → Y= 140/1 → Y= 140 → (0, 140)

Cuando no se producen ventiladores:

Y=0 → 2X + 0 =140 → X= 140/2 → X= 70 → (70,0)

Los puntos de esquina (0,0) , (0,120), (70,0)

Hallo el cuarto punto de esquina usando el método de eliminación.

3X + 2Y = 240 3X + 2Y = 240

-2 ( 2X + Y= 140) -4X - 2Y = -280

- X = - 40 → X= 40

Reemplazo en la ecuación 2 → 2(40) + Y = 140 → Y= 140- 80 → Y= 60 → (40, 60)

Se remplaza cada punto de esquina en la ecuación de utilidad:

(0,0) → $25(0) + $ 15(0) = 0

(0, 120) → $25(0) + $15(120) = $1800

(70,0) → $25 (70) + $15(0) = $1750

(40,60) → $25(40) + $15(60) = $1900 Utilidad máxima

La combinación que genera mayor utilidad es 40 acondicionadores de aire y 60 ventiladores

• 7-16

Radio (O) Television (N)

Costo $ 200 500 40000

Cantidad personas 3000 7000

Sea la radio el eje horizontal (0)

Sea la televisión el vertical (N)

Restricciones:

1. 200O + 500N ≤ 40.000

2. O, N ≥ 10

3. O≥ N

Ecuacion de cantidad de personas: 3000O + 7000N

O = 10 → 200(10) + 500N = 40.000 → 500N= 40.000 - 2000→ N= 38.000/500 → →N =76 → no cumple con O ≥ N

Sea N= 10 (lo mínimo de anuncios en televisión) → 200O + 500(10) = 40.000

→ 200O= 40.000 – 5000 → O= 35.000/200 → O= 175 → (175, 10)

Si O = T → 200O + 500O = 40.000 → 700O = 40.000 → O = 40.000/700 → O = 57 → (57, 57)

57 es el minimo de anuncios en radio para que cumpla O≥N

Grafica

Reemplazo los puntos esquina en la ecuación de cantidad de personas:

(57,10) → 3000(57) + 7000(10) = 241.000

(57,57) → 3000(57) + 7000(57) = 570. 000

(57,10) → 3000(175) + 7000(10)= 595.000 Máxima cantidad de personas

Se deben utilizar 175 anuncios de radio y 10 anuncios de televisión para obtener un público de 595.000 person

• 7-18

Costo $

Cursos de Licenciatura (L) $2.500

Cursos de Posgrado (P) $3.000

Sea el curso licenciatura el eje horizontal (L)

Sea el curso de posgrado el eje vertical (P)

Restricciones

L ≥ 30, P ≥20; demanda de estudiantes

L + P ≥ 60; demanda de profesores

Ecuación de costo: 2500L + 3000P

Sea L = 30 (ínimo de licenciatura) → 30 + P = 60 → P = 60 – 30 → P = 30 → (30, 30)

Sea P = 20 (el mínimo de posgrado) → L + 20 = 60 → L = 60 – 20 → L = 40 → (40, 20)

Reemplazo los puntos esquina en la ecuación de costo:

(30, 30): 2500(30) + 3000(30)= 135.000 Costo mínimo en los salarios de los profesores

(40, 20): 2500(40) + 3000(20) = 160.000

Se deben ofrecer 30 cursos de licenciatura y 30 de posgrado si se quiere reducir al mínimo el costo de los salarios de los profesores.

• 7-22

Maximizar la utilidad: 4X + 4Y

Restricciones:

1. 3X +5Y ≤ 150

2. X – 2Y ≤ 10

3. 5X + 3Y ≤ 150

4. X, Y ≥ 0

Puntos Restricción 1:

Sea X =0 → 3(0) + 5Y = 150 → Y= 150/5 → Y = 30 → (0, 30)

Sea Y=0 → 3X + 5(0) = 150 → X= 150/3 → X = 50 → (50, 0)

Puntos Restricción 2:

Sea X =0 → 0 – 2Y = 10 →Y = 10/-2 → Y = - 5, no cumple Y ≥ 0

Sea Y=0 → X – 2(0) = 10 → X =10 → (10, 0)

Puntos Restricción 3:

Sea X =0 → 5(0) + 3Y =150 → Y = 150/3 → Y = 50 → (0, 50)

Sea Y=0 → 5X + 3(0) = 150 → X = 150/5 → X= 30 → (30, 0)

Se Halla uno de los puntos de esquina faltantes usando el método de eliminación:

Restricción 1 y 3:

5 (3X + 5Y = 150) 15X + 25Y = 750

-3 ( 5X + 3Y = 150) -15X - 9Y = -450

16Y = 300 →Y= 18.75

Se Reemplaza

3X + 5(18.75) = 150 → 3X = 150 – 93.75 → X = 56,25/3 → X = 18,75 → (18.75, 18.75)

Para hallar el ultimo punto reemplazo X = 10 en la ecuación de restricción 3:

→ 3 (10) + 5Y = 150 → 5Y = 150 – 30 → Y = 120/5 → Y= 24 → (10, 24)

Reemplazo los

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