El cálculo de Probabilidades

INTRODUCCIÓN

El cálculo de probabilidades, rama de las matemáticas que se interesa por los fenómenos aleatorios, tuvo su origen en la teoría matemática de los juegos de azar, fruto de la correspondencia mantenida por Pascal y Fermant, matemáticos del siglo XVII, sobre problemas relativos a juegos de azar. En aquella época, Antoine Gombaud entabló amistad con Blaise Pascal, llegándole a plantear el siguiente problema: ¿Qué es más probable, sacar al menos un 6 en cuatro tiradas de un dado o sacar al menos un 6 doble en veinticuatro tiradas de dos dados?

Sin embargo, es hacia el año 1933, cuando Kolmogorov, intrigado por las diversas definiciones de la probabilidad, concebidas cada una de ellas para aplicar en situaciones muy concretas, introduce su definición axiomática basándose en conceptos y resultados de la Teoría de la Medida y de la Integración, dota así al Cálculo de Probabilidades de unos fundamentos lógicos y de una estructura matemática sólida y rigurosa, que pasa a considerarse como una disciplina de pleno derecho, la Teoría de la Probabilidad, y se define entonces como la rama de las matemáticas puras que construye e investiga el modelo matemático de un fenómeno aleatorio.

La definición formal de probabilidad de inicia con el espacio muestral, generalmente representado por S. El espacio muestral es un conjunto que incluye todos los posibles resultados (o respuestas) de un experimento o situación. El espacio muestral S puede ser cualquier conjunto, incluido un conjunto finito. Normalmente se denota como s cualquier elemento de S, de modo que s € S. Debe tenerse en cuenta que S sólo describe aquellos resultados que se están estudiando.

Un modelo de probabilidad también requiere un conjunto de sucesos, que son subconjuntos de S a los que se les puede asignar una probabilidad. De igual manera, un modelo de probabilidad necesita una medida de probabilidad, generalmente denotada por P. Esta medida de probabilidad debe asignar a cada suceso A una probabilidad P(A), y además debe cumplir con las siguientes propiedades:

1. P(A) es siempre un número real no negativo comprendido entre 0 y 1 (ambos comprendidos).
2. P(Ø)= 0, es decir, si A es el conjunto vacío Ø, entonces P(A)= 0.
3. P(S)= 1, por tanto, si A es el espacio muestral S, entonces P(A)= 1.
4. P es aditiva por enumeración, es decir si A1, A2, … es una secuencia finita contable o enumerable de sucesos disjuntos, entonces:

P(A1 U A2 U …)= P(A1) + P(A2) + …

La primera propiedad implica que podemos expresar todas las probabilidades en una escala comprendida entre o y 1, donde 0 significa imposible y 1 significa cierto o seguro. La segunda propiedad implica que la probabilidad de que no ocurra nada es 0, en otras palabras, que es imposible que no obtengamos una respuesta. La tercera propiedad implica que la probabilidad de que ocurra algo es 1, es decir, es seguro que obtendremos algún resultado.

La cuarta propiedad es algo más sutil. Implica que se puede calcular probabilidades de sucesos complejos sumando las probabilidades de sucesos más simples, siempre y cuando los sucesos simples sean disjuntos y, unidos, constituyan el suceso complejo

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