Estadistica

• Definición de variables aleatorias

Es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos:

- nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)

- nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora

- tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.

Ejemplo: Ejercicio 15.2 de Peña y Romo

Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:

a) nº de páginas de un libro → discreta

b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua

c) nº de preguntas en una clase de una hora → discreta

d) cantidad de agua consumida en un mes → continua

• función de distribuciones de probabilidad

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

• Función de probabilidades acumuladas

Describe la probabilidad de que una variable aleatoria real X sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, se sitúe en la zona de valores menores o iguales a x.

Intuitivamente, asumiendo la función f como la ley de distribución de probabilidad, la fda sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función f, siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real X.

La fda asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: "la variable X toma valores menores o iguales a x".

Las Funciones de Distribución Acumulativa se emplean también para especificar la distribución de variables aleatorias multivalentes.

• Distribuciones discretas de probabilidades

- Bernoulli

Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes.

Para identificar un proceso Bernoulli en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario.

Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente.

Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas.

Cuando en un proceso del tipo Bernoulli se desea saber la probabilidad de obtener exactamente r éxitos, en una serie de n pruebas, con una probabilidad de éxito p, se puede aplicar la fórmula de la probabilidad binomial:

X = 0, 1, 2, ……, n.

La media o valor esperado es m = np

La varianza s 2 = np(1-p)

- POISSON

Se denominan procesos de tipo Poisson, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas dentro de un continuo, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no, cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes del lugar que ocurren dentro del continuo.

Para identificar un proceso Poisson en una serie de pruebas repetidas, se deben verificar tres condiciones:

1.

2. Sucesos puntuales: Los sucesos ocurren dentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parte infinitesimal del mismo. Es decir, en el espacio un suceso es puntual y en el tiempo es instantáneo. En términos prácticos, los sucesos no ocupan una parte apreciable del continuo.

3. Sucesos independientes: La ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo no condiciona la ocurrencia del anterior (o del siguiente) en otra parte del mismo.

4. Probabilidad constante: La probabilidad de ocurrencia de un suceso en un lugar del continuo es la misma en todo punto del mismo.

Son ejemplos de este tipo de proceso:

• la llegada de pacientes a una cola o línea de espera,

• los accidentes en una ruta, etc.

Esta probabilidad se aproxima a la binomial cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña, por eso muchos la llaman: la "binomial de los sucesos raros".

- Geométrica

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento

- Binominal negativa

Es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

- Multinominal

Es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados

La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:

Dónde:

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)

n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)

n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)

Veamos el ejemplo:

Luego:

P = 0,0256

Es decir, que la probabilidad de que las 5 personas elegidas hayan votado de esta manera es tan sólo del 2,56%

- Hipergeometrica

Es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:

En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?

Son experimentos

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