Estadistica

UNIDAD 2

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad cumple un importante papel en la investigación científica ya que son pocas las decisiones sobre los resultados de un experimento que se pueden predecir con absoluta certeza.

OBJETIVO:

- Comprender las reglas matemáticas básicas aplicadas al campo de la probabilidad.

CONTENIDOS:

- Probabilidad. Resultado de un experimento. Definición clásica y empírica.

- Probabilidad de dos sucesos mutuamente excluyentes, simultáneos, independientes y dependientes. Probabilidad conjunta, marginal y condicional.

Probabilidad y frecuencia

La frecuencia es un hecho empírico, surge como resultado de un estudio, ya sea contando el número de datos iguales (frecuencia absoluta) o dividiendo la frecuencia absoluta por el total (o efectivo) de la muestra, obteniendo así la frecuencia relativa (h).

La probabilidad, en cambio, es un concepto, una idea, basado en la ley de los grandes números.

La frecuencia es un hecho “a posteriori”, mientras que la probabilidad es un conocimiento “a priori”.

La probabilidad estimada o empírica es la frecuencia relativa de la aparición del suceso, cuando el número de observaciones es grande.

La frecuencia es variable de una vez a otra, la probabilidad es fija, no se puede modificar. Ambas, frecuencia relativa y probabilidad, se expresan por un quebrado: en el numerador aparece el número de casos en que se cumplió con una condición determinada y en el denominador el conjunto de éstos más aquellos casos en los que la condición no apareció. En ambos casos el numerador es menor, o a lo sumo igual, que el denominador, por lo que el resultado de esta fracción puede encontrarse entre un número mínimo (muy cercano a cero o cero) y un número máximo lindante con 1.

En el caso de tener un resultado 0 si se trate de una frecuencia, indicará que el hecho con una condición determinada, no ocurrió, y si se trata de probabilidad, es imposible que el hecho aparezca. Por el contrario si el valor fuera 1, tratándose de frecuencia significaría que el hecho apareció todas las veces, y si fuera probabilidad, el hecho se producirá con certeza. Pero en la gran mayoría de los casos, la frecuencia relativa es distinta a la probabilidad. Si se tirara una moneda perfecta, repetidas veces, el número de veces que salga cara debiera ser igual al número de veces que sale ceca. Así lo expresa la probabilidad y así va a ocurrir cuando se tire un sinnúmero de veces la moneda. A medida que se aumenta el número de veces que se repite un suceso, la frecuencia paulatinamente va acercándose a la probabilidad, llegando a diferir de ésta tan poco como se desee con sólo ampliar el número de repeticiones.

Definiciones: 

De acuerdo con la teoría clásica, la probabilidad trata con los problemas aleatorios. Primero esta idea se aplicó a los juegos de azar y hoy es uno de los tópicos más importantes en matemáticas y estadística. Según esta teoría “Probabilidad es el cociente entre el número de casos favorables (p) y el total de casos igualmente posibles (n)” por lo que usualmente se expresa como una proporción

P(A)= p/n

donde A= Evento; n= Número de eventos posibles y p= Número de resultados favorables (lo que se definió como evento A).

En general, probabilidad es la posibilidad de que algo suceda. La probabilidad simple, es la probabilidad de que un evento simple suceda.

La probabilidad conjunta se refiere a fenómenos con dos o más eventos. Dos eventos son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. La probabilidad de que se produzca cualquiera de dos o más hechos mutuamente excluyentes es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos:

P(A U B)= P(A) + P(B), llamada regla de la suma.

Si los sucesos NO son excluyentes (tienen puntos en común) la ley de suma también se aplica pero con una restricción, en el sentido de no adicionar por duplicado los resultados de un experimento en el que se presentan conjuntamente los eventos A y B (A ∩ B):

P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Según la teoría axiomática, la probabilidad de un evento A en el experimento aleatorio E es el valor numérico de la P(A) que cumpla con las siguientes leyes:

1. Si A es un evento, la P(A) ≥ 0 para todo A
2. Si E (espacio muestral) representa al conjunto de todos los eventos posibles de un experimento aleatorio la P(E) = 1
3. P(A1 U A2 U A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3); si A es una sucesión de eventos incompatibles o excluyentes. El símbolo U indica la suma o unión de eventos.

Ejemplo: Si decimos que un experimento aleatorio es obtener de un bolillero en el que hay cuatro bolillas de colores (verde, blanco, rojo y negro), en una única extracción, 1 bolilla blanca.

Entonces, los resultados posibles de E son: verde - blanca - roja – negra.

Como estamos haciendo una sola extracción al salir la bolilla blanca, no puede salir al mismo tiempo la de cualquier otro color, son eventos mutuamente excluyentes.

P (A1) = Extraer una bolilla blanca = P (blanca) =1/4 = 0,25

P (A2) = Extraer una bolilla no blanca = P (no blanca) = 3/4 = 0,75

* Las probabilidades son mayores a cero

* La P(E) = P (A1) + P (A2) = 0.25+0.75= 1

Ejemplo: Estudiantes de la Escuela de Enfermería por sexo y año que cursan – Viedma - Año 2008.

Teniendo en cuenta que A y B no son mutuamente excluyentes, encontrar la probabilidad de A o B, o ambos a la vez.

P(A1) = Ser estudiante de sexo femenino = 400/500= 0.80

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