Estadística

TEMA 1 :

DESCRIPCIÓN DE UNA MUESTRA

1. INTRODUCCIÓN

Ejemplo 1

El gobierno desea averiguar si el número medio de hijos por familia ha descendido respecto a la década anterior. Para ello ha encuestado a 50 familias respecto al número de hijos y ha obtenido los siguientes datos:

2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4

3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1

Ejemplo 2

Un nuevo hotel va abrir sus puertas en una cierta ciudad. Antes de decidir el precio de sus habitaciones, el gerente investiga los precios por habitación de 40 hoteles de la misma categoría de esta ciudad. Los datos obtenidos (en miles de pesetas) fueron:

3.9 4.7 3.7 5.6 4.3 4.9 5.0 6.1 5.1 4.5

5.3 3.9 4.3 5.0 6.0 4.7 5.1 4.2 4.4 5.8

3.3 4.3 4.1 5.8 4.4 3.8 6.1 4.3 5.3 4.5

4.0 5.4 3.9 4.7 3.3 4.5 4.7 4.2 4.5 4.8

1.1 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA: es la ciencia que se encarga de la recopilación, representación y el uso de datos sobre una o varias características de interés para, a partir de ellos, tomar decisiones o extraer conclusiones generales.

1.2 MODELO ESTADÍSTICO:

• PASO 0: Planteamiento del problema en términos precisos: ámbito de aplicación (población) y característica(s) a estudio (variable(s))

• PASO 1: Recogida de datos de la población de interés (MUESTREO)

• PASO 2: Organización, Presentación y Resumen de los datos (o de la muestra).(ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA).

• PASO 3: Confección de modelos matemáticos. (TEORÍA DE LA PROBABILIDAD).

• PASO 4: Obtener conclusiones generales o verificar hipótesis (INFERENCIA ESTADÍSTICA).

1.3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: es la parte de la estadística que se encarga de organizar, resumir y dar una primera descripción (sin conclusiones generales) de los datos.

1.4 CONCEPTOS BÁSICOS:

POBLACIÓN: Es el conjunto de individuos o entes sujetos a estudio (En nuestro caso las poblaciones serían: en el ejemplo primero el conjunto de todas las familias españolas y en el segundo ejemplo el conjunto de todos los hoteles de esta categoría de esta ciudad.). Algunas poblaciones son finitas y pueden conocerse; otras pueden ser infinitas y abstractas: Ej: el conjunto de todos los hoteles o el conjunto de todas las piezas fabricadas por una máquina.

VARIABLE: Característica que estamos midiendo (Ej 1: número de hijos, Ej 2: precio de la habitación) Las variables se suelen denotar por letras mayúsculas: X, Y,...

Tipos de variables:

1. Cualitativas o Categóricas: aquellas que no son medibles, es decir, aquellas cuyas observaciones no tienen carácter numérico. Expresan cualidades o categorías. Ej.: estado civil, sexo o profesión.(A las variables cualitativas también se les llama atributos).

2. Cuantitativas: aquellas que son medibles, es decir sus observaciones tienen carácter numérico. Estas se dividen a su vez en:

* Discretas: toman valores en un conjunto numerable. Ej.: Número de habitaciones de un hotel, número de hijos de una familia, número de obreros de una fábrica.

* Continuas: toman valores en un conjunto no numerable (los números reales o un intervalo). Ej.: peso, estatura .

NOTA: La distinción entre variables discretas y continuas es más teórica que práctica, puesto que la limitación de los aparatos de medida hace que todas las variables se comporten como discretas cuando se pretende observarlas. De momento haremos más flexible el concepto de variable continua considerando continua a aquella variable que toma un gran número de valores diferentes, en este sentido podemos considerar la variable precio de la habitación como continua.

MUESTRA: Es un conjunto finito de elementos seleccionados de la población. (las 50 familias, los 40 hoteles)

TAMAÑO MUESTRAL: número de observaciones en la muestra. Habitualmente se denotará por n.

DATO: cada valor observado de la variable. Si representamos por X a la variable, representaremos por xi cada dato diferente observado en la muestra, el subíndice i indica el lugar que ocupa si los ordenamos de menor a mayor.

Ej1: x1 =0, x2=1

Ej2: x1 =3.3, x2=3.7

Denotaremos por k al número de valores distintos.

2. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Observando los datos del ejemplo es fácil adivinar cual será el primer paso en la organización de los datos; consistirá en agrupar aquellos datos que se repiten varias veces. Tenemos las siguientes definiciones:

2.1 FRECUENCIA ABSOLUTA (ni): es el número de veces que se repite un determinado valor (xi) de la variable. Ej1: para el dato x1=0 n1=2, para el dato x4=3 n4=15.

PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño muestral.

Este tipo de frecuencias no son comparables con las obtenidas en otras muestras de distinto tamaño.

2.2 FRECUENCIA RELATIVA (fi): es igual a la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos, es decir por el tamaño muestral fi=ni/n. Ei1.: f1=2/50=0.04, f4=15/50=0.3

PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

2.3 FRECUENCIA ACUMULADA (Ni): Nos dice el número de datos que hay igual o inferiores a uno determinado. Se calcula:

Ej1: N1=2, N4=42.

PROPIEDAD: La última frecuencia acumulada absoluta es el tamaño muestral.

2.4 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Fi): Es el resultado de dividir cada frecuencia acumulada por el número total de datos

Ej1: F1=0.04, F4=42/50=0.84.

PROPIEDAD: La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.

2.5 TABLA DE FRECUENCIAS :

Llamamos así a una tabla conteniendo el conjunto de diferentes valores que ha tomado una variable (los datos sin repetir) ordenados de menor a mayor con sus correspondientes frecuencias.

Ejemplo 1:

xi ni fi Ni Fi

0 2 0.04 2 0.04

1 4 0.08 6 0.12

2 21 0.42 27 0.54

3 15 0.3 42 0.84

4 6 0.12 48 0.96

5 1 0.02 49 0.98

6 1 0.02 50 1

¿Cuál es el número

...