INVESTIGACION OPERATIVA
Enviado por DANCIS82 • 26 de Abril de 2012 • 6.573 Palabras (27 Páginas) • 1.093 Visitas
Ejercicios resueltos de programación lineal
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3•0 + 1/2•0 ≤ 100
1/3•0 + 1/6•0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15•0 + 10•200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15•240 + 10•0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15•210 + 10•60 = 3 750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1Elección de las incógnitas.
x = P1
y = P2
2Función objetivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3Restricciones
P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x,y)= 6.5 • 200 + 7 • 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 • 0 + 7 • 200 = 1 400 €
f(x,y)= 6.5 • 150 + 7 • 100 = 1 675 € Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1Elección de las incógnitas.
x = X
y = Y
2Función objetivo
f(x,y) = 10x + 30y
3Restricciones
X Y Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y ≥ 15
5x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 • 0 + 30 • 15 = 450
f(15, 0) = 10 • 15 + 30 • 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 • 5/2 + 30 • 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.
Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1Elección de las incógnitas.
x = Pastillas grandes
y = Pastillas pequeñas
2Función objetivo
f(x, y) = 2x + y
3Restricciones
40x + 30y ≤ 600
x ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y)= 2 • 3 + 16 = 22 €
f(x, y)= 2 • 3 + 6 = 12 €
f(x, y)= 2 • 6 + 12 = 24 € Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas .
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1Elección de las incógnitas.
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
2Función objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
...