MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD

MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD

LA VARIANZA de una muestra de n observaciones Y1, Y2,… …………Yn se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media Ȳ dividida entre (n – 1). La Varianza muestral se simboliza por S2 y está dada por la fórmula

S2 = (∑▒〖(y- ȳ)〗^(2 ) )/(n-1) = (∑▒〖(y- ȳ)〗^(2 ) )/n

Se da éste avance porque la varianza muestral se utiliza para estimar la poblacional σ^2

LA DESVIACIÓN muestral es igual a la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral.

TEOREMA DE SHEBYSHEFF Dado un número K mayor o igual a 1 (K ≥1) y un conjunto de n observaciones y1; y2; ….. yn; por lo menos (1 - 1/K^(2 ) ) de las observaciones se encuentran dentro de K desviaciones de la media.

REGLA EMPÍRICA En una distribución acampanada (Normal) se estima que:

El 68 % de las observaciones se encuentran dentro de µ ± 1σ

El 95 % de las observaciones, aproximadamente, están entre µ ± 2σ

El 99.7 %, de las observaciones, aproximadamente, están entre µ ± 3σ

COEFICIENTE DE VARIACIÓN viene dado por la relación entre la desviación y un punto de referencia que puede ser el promedio, la mediana o cualquier otro punto, según el interés.

d = S/(Ȳ ) * 100 para expresarlo como un porcentaje.

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA En una distribución acampanada es por definición la relación entre la sumatoria de los cubos de la diferencia de los valores de la variable y su promedio con referencia a la desviación elevada al cubo: nos indica el lado en el que se presenta la deformación o alargamiento de la distribución o también un desplazamiento de la curva hacia el lado izquierdo o al lado derecho dependiendo de si su valor es negativo o positivo. La serie o la curva son simétrica, si el promedio, la mediana y la moda coinciden y su valor seria cero. Se representa por la letra g1.

g1 = (∑▒(Y-Ȳ) ^3 ni)/(nS^3 )

COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO O KURTOSIS Es una medida de altura de la curva acampanada; nos indica si es achatada (chaparrita), normal o apuntada.

Como es la misma curva, la media sería la misma y la distancia del límite de la curva al centro o media de la misma nos podría dar una idea de la desviación según el caso.

Se simboliza con la letra g2 = (∑▒(Y-Ȳ) ^4 ni)/(nS^4 )

PUNTAJE TIPICO O ESTANDARIZADO mide la desviación (diferencia, error) de una observación con respecto a la media muestral o entre ésta y la media poblacional.

Z = (Y-Ȳ)/S o t = (Y-Ȳ)/S

EJERCICIOS VARIOS

1.- Una muestra de 70 datos de cierta variable tiene una media de 120 con una desviación de 6; otra semejante pero de 30 datos, da para la misma variable una media de 125 y una desviación de 5. Si se reúnen las dos muestras formando una sola de 100 datos, se pide calcular la media y la desviación de la nueva muestra. (Varianza de una suma)

2.- Durante un período de 10 años, los precios de un producto fueron en promedio de

$ 80= con una desviación de $12=. En el período anterior de 10 años, el promedio fue de $50= con una varianza de $36=. ¿En qué período hubo mayor estabilidad?

3.- La varianza de dos números es 1 y su media aritmética es 8, hallar los números.

4.- Si un conjunto de n valores de Xi se sabe que: ∑▒〖X 〗= 10; ∑X2 = 260; S2 = 25; hallar n.

5.- La media de 10 observaciones es 3 y la suma de sus cuadrados es 100; hallar S.

6.- Hallar la desviación de dos números si sus medias: Ȳ = 9 y Ȳg = 7.2

7.- Tres profesores de estadística registraron una calificación media en sus exámenes de

71; 78; 89; con desviaciones de 9; 8; 7; sus grupos tenían 20; 25 y 15 estudiantes, respectivamente, hallar el promedio y la desviación de calificación para los tres grupos. Cuáles serían estos valores si los cursos tienen el

...