Medidas Dispersión

MEDIDAS DE DISPERSION:

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

Las medidas que hasta ahora conocemos, medias, modas, percentiles, etc., tienen todas ellas las propiedades de ubicarse siempre entre los dos valores extremos de los datos, mínimo y máximo, pues indican posición, bien sea central, o bien sea extrema como por ejemplo el percentil 5, o el percentil 95.

Las medidas de tendencia central son insuficientes para describir el comportamiento de los datos, pues no proporcionan información acerca de cuan cerca o lejos se encuentran estos datos, con relación a este valor central. Así por ejemplo el trió de datos {8, 9, 10} y {1, 10, 16} tienen ambos media 9; pero resulta obvio, que en el primero de ellos existe una menor desviación con respecto a este valor central, que en el segundo.

Medir la variabilidad resulta muy importante en diversas situaciones prácticas, pues a través de su medición se podrán comparar conjuntos de datos, y establecer cuando existe una mayor concentración de ellos en la región central. Así por ejemplo, en estudios sociales las medidas de dispersión proporcionan la información requerida para analizar cómo es la distribución de los ingresos dentro de la sociedad; en los estudios de calidad industrial, estas mismas medidas de dispersión se utilizan para medir la precisión de las maquinas utilizadas en el proceso de producción.

LA DISPERSION ES IMPORTANTE PORQUE:

Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.

Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas.

Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.

Pero si hay dispersión en la mayoría de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la variabilidad de una distribución empírica?. Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión absolutas:

Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:

1.- Rango

2.- Varianza

3.- Desviación típica o estándar

4.- Coeficiente de varización de Pearson

VARIANZA:

Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media ). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:

Donde ( ) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( ) representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño de la población. En el caso que estemos trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:

Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( ) representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ó tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se le resta uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más representativa para la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da como resultado el promedio de la desviación, pero este valor se encuentra elevado al cuadrado.

RANGO O RECORRIDO:

Definición: se llama recorrido de una distribución a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

Cálculo del recorrido:

Es muy sencillo aplicando la definición, consiste en ordenar los valores de menor a mayor y restar al último el primero.

Observaciones al recorrido:

1. Cuanto menor es el recorrido mayor es el grado de representatividad de los valores centrales.

2. Cuanto mayor es, la distribución está menos concentrada o más dispersa.

3. Tiene la gran ventaja de su sencillez de cálculo.

4. Tiene gran aplicación en procesos de control de calidad,

5. Tiene el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos. De esta forma basta que uno de ellos se separe mucho para que el recorrido se vea sensiblemente afectado.

6. Para paliar este inconveniente a veces se utilizan otros dos rangos:

Rango intercuartílico: Q = Q3 – Q1

Rango entre percentiles: P = P90 – P10

Estos rangos son algo más estables, ya que tienden a eliminar aquellos valores extremadamente alejados.

También podemos decir que es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn ó Xmax.) y el más bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos.

Rango para datos no agrupados:

R = Xmáx.-Xmín = Xn-X1

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años

Con datos

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