Matricez Matematicas

Introducción

El trabajo mostrado a continuación habla todo con respecto a las matrices matemáticas. Se dice que son conjuntos de números dispuestos en forma rectangular formando filas y columnas.

Si se habla de matrices es claro que también se mencionaran:

-Los tipos de matrices que existen, con algunos ejemplos en imagen para su mejor recepción visual.

-propiedades en su totalidad, formas de uso etc.

Algo que no se debe de quedar atrás con respecto a este tema, es el método gaussiano que fue un gran aporte y ha mantenido su relevancia hasta tiempos actuales.

La realización de este trabajo es para resolver todas las dudas respecto al tema, además de conocer todos componentes para su comprensión y asi, tener la capacidad de dominar el tema en absoluto.

Comencemos.

Matriz

Concepto de matriz:

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Las cifras dadas pueden ser sumadas, restadas y multiplicadas, solamente.

La división no ha podido ser posible decifrar su método de resolución, claro, si es que existe.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5. Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por aij, y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I.

Propiedades

- Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.

- Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

- La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].

- Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

- Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Métodos

En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo.

En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

En el caso de tres filas por tres columnas:

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