Motodos De Demostración

Método progresivo regresivo

La característica de este método se parte de una hipótesis y se llega directamente a una conclusión.

La suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero es igual a la suma de dos ángulos suplementarios.

Hipótesis: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero

Conclusión: es igual a la suma de dos ángulos suplementarios

Partiendo de la conclusión tenemos, un ángulo complementario suma 1800, dos ángulos suplementarios suman 3600 y sabemos que la suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero es igual a 3600, por lo tanto se cumple la conclusión.

Método de demostración directa

Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero que tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general, todo lo que está entre las palabras “si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo lo que está después de “entonces”, la B.

Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.

Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área , entonces es isósceles.

En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos x, y, z, donde z es la hipotenusa y tiene de área ” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”.

Proposiciones Justificaciones

A: Área de XYZ es

Dado

A1:

Área 

A2: x2  y2  z2 Teorema de Pitágoras

A3:

De A2 y A1

A4: x2  2xy  y2  0 De A3

A5: (x  y)2  0 Factorizando A4

B2: x  y  0. De A5

B1 : x  y De B2

B: XYZ es isósceles De B1

Método de reducción al absurdo

La Reducción al Absurdo es uno de los métodos más usados para hacer demostraciones matemáticas. La idea es suponer que la proposición que queremos demostrar es falsa, y a partir de esta suposición, usando deducciones matemáticas, llegar a una contradicción o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposición es necesariamente cierta.

Demostrar que el producto de dos números AB es par, entonces o B es par o A es par.

Hipótesis: el producto de dos números AB es par

Tesis: B es par o A es par

Debemos negar la tesis:

Negaremos la conjunción:

B no es par y A no es par

La hipótesis AB es par, esto implica que AB=2K

Si B= 2C +1 y A= 2D + 1

AB= (2C +1)( 2D + 1) = 2CD + 2C + 2D + 1 = 2(CD + C + D ) + 1

Esto es que AB es impar y esto es absurdo por tanto nuestro teorema está probado.

Método por inducción matemática

Es una de los métodos más útiles ya que nos permite generalizar propiedades a los números naturales:

Comprobar que la propiedad o formula se cumple para n=a

Suponemos que la proposición se cumple para un valor n=k, este paso se llama paso inductivo

Se demuestra que la propiedad se cumple para n=k+1. Este paso se denomina tesis inductiva

Ejemplo:

Demostrar que para todo n que pertenece a los números naturales se cumple que n(n+1) es par:

Si n=1 tenemos: 1(1+1) =2 par

Si n=k tenemos k(k+1)= sea par “hipótesis”

Si n=k+1 tenemos (k+1)((k+1)+1)= sea par

Tenemos dos casos k+1= par o k+1= impar

Como k+1 es par, entonces

(k+1)(k+2) es par

Se cumple el enunciado

Método de demostración por contraejemplo

Este método no se usa para demostrar la validez de una proposición sino para demostrar la falsedad.

El producto de dos números de diferente

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