NUMEROS REALES 3ERA CLASE

INTRODUCCIÓN.

De manera natural se han introducido los números naturales

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, … }

A continuación, por extensión de los números naturales se define al conjunto de los números enteros

ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Y a los números racionales

ℚ =  {𝑝⁄𝑝 ∈ ℤ,        𝑛  ∈ ℕ}[pic 1]

𝑛

El conjunto ℝ de los números reales contiene a todos ellos y a los irracionales.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Pero poco se habla de la estructura del conjunto de los números reales ℝ.

A un nivel de Bachillerato es importante que se sepa que el conjunto de los números reales ℝ tiene estructura de cuerpo ordenado. Pero … ¿qué significa esto? De manera rápida y simple significa que las dos operaciones definidas en ℝ suma y producto, cumplen una serie de propiedades. Propiedades que les daremos el nombre de axiomas, pues se verificarán siempre de manera evidente y las daremos por ciertas sin que medie ninguna demostración.

SISTEMA DE NÚMEROS REALES

El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales y una operación llamada suma o adición. El

conjunto de números reales se representa por ℝ. La operación de adición se representa con el símbolo (+). Si 𝑎 y 𝑏 son elementos del conjunto ℝ, 𝑎 + 𝑏 designa la suma de 𝑎 y 𝑏, que verifica los siguientes axiomas (enunciado formal que se da por cierto sin necesidad de demostrarlo):

1. La suma es asociativa:

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐,        ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

1. La suma es conmutativa

𝑎 + 𝑏  = 𝑏 + 𝑎,        ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

1. Existe un elemento neutro para la suma, que se designa por 0

∃0 ∈ ℝ⁄𝑎 + 0 = 𝑎,        ∀ 𝑎  ∈ ℝ

1. Para cada número real existe un simétrico (llamado negativo o inverso u opuesto aditivo de 𝑎) representado por (−𝑎) tal que:

∀𝑎 ∈ ℝ,        ∃ − 𝑎 ∈ ℝ ∕ 𝑎 + (−𝑎) = 0

Los cuatro axiomas anteriores se resumen diciendo que ℝ, con la operación suma, es un grupo conmutativo, el grupo aditivo de los números reales. En este grupo el elemento neutro es único y el opuesto de cada número real 𝑎 también es único.

• En nuestro grupo aditivo recién definido es costumbre escribir 𝑎 − 𝑏 en lugar de 𝑎 + (−𝑏).

• De aquí que la operación resta o diferencia no sea distinta de la suma o adición. En realidad 𝑎 − 𝑏 consiste en sumarle al número 𝑎 el opuesto de

𝑏.

• Ahora veamos unos cuantos axiomas más

En ℝ hay definida una segunda operación, llamada producto y denotada bien con un punto, (. ) , bien por yuxtaposición, que verifica los siguientes axiomas:

1. El producto es asociativo:

𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐,        ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

1. El producto es conmutativo

𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎,        ∀ 𝑎, 𝑏  ∈ ℝ

1. Existe un número real no nulo, que designaremos por 1, que es el elemento neutro para el producto:

∃ 1 ∈ ℝ,        1 ≠ 0⁄𝑎 . (1) = 𝑎,        ∀ 𝑎  ∈ ℝ

1. Todo número real 𝑎 ≠ 0 admite un número real llamado simétrico, (recíproco o inverso multiplicativo) de 𝑎 para el producto, que llamaremos inverso de 𝑎 y lo designaremos por 𝑎−1 tal que:

∀ 𝑎  ∈ ℝ − {0},        ∃ 𝑎−1 ∈ ℝ⁄𝑎 . 𝑎−1 = 1

1. El producto cumple la propiedad distributiva respecto a la suma:

𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎. 𝑏) + (𝑎. 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

El producto es la operación a la que habitualmente llamamos multiplicación.

Al igual que ocurría con el elemento neutro para la suma, se demuestra que:

• El elemento neutro para el producto, el uno (1), que aparece en el axioma

7) es también único.

• El inverso 𝑎−1 de un número real 𝑎 ≠ 0, también es único.
• Al inverso de un número real 𝑎, no solamente se le denota por 𝑎−1, sino que también podremos escribir (1⁄𝑎).
• Además, si 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ − {0}, podremos escribir

𝑎 ,        en lugar de 𝑎𝑏−1.[pic 2]

𝑏

De aquí se deduce que la división no es una operación realmente distinta del producto. Es decir, dividir el número 𝑎 entre el número 𝑏 no es otra cosa que el producto de 𝑎 por el inverso de 𝑏:

...