PLANO CARTESIANO

El Plano Cartesiano

Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.

Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la recta L.

Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las relaciones métricas en el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.

El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta generalización juega un papel importante en muchas ramas de matemática y física.

Representación de Puntos en el Plano:

Consideremos un plano donde dibujamos dos líneas perpendiculares que denominamos “OX” y “OY”. Estas líneas se intersecan en un punto “O” que llamaremos el origen de coordenadas. El origen divide a los ejes en dos partes denominadas semiejes (semieje positivo y negativo). Cualquier punto del plano vendrá especificado por un par de números reales que denominaremos coordenadas del puntoP = (px, py). Para obtener estas coordenadas trazamos una línea paralela al eje “Y” que pasa por “P”: el punto de corte de esta línea con el eje “X” se encuentra a una distancia “px” del origen. Análogamente, si trazamos una línea que pasa por “P” paralela al eje “X”, la distancia del punto de corte con el eje “Y” al origen “O” es “py”. A estas coordenadas se las denomina coordenadas cartesianas rectangulares.

A su vez, después de establecer los ejes coordenados podemos decir que el plano 2D está dividido en cuatro cuadrantes. En sentido contrario al avance de las agujas del reloj: I, II, III, IV. Los puntos que se encuentran en el eje “X” o eje de abscisas tienen coordenada “y = 0″. Los puntos que se encuentran en el eje “Y” o de ordenadas tienen coordenada “x = 0″. El origen de coordenadas será obviamente (0, 0).

En general denotaremos un punto en el plano mediante el par ordenado constituido por sus coordenadas (x, y). Abusando un poco del lenguaje podemos decir que que el plano donde se han introducido introducido las coordenadas cartesianas”x” e “y” es el plano “xy”. Se cumple que dado un par arbitrario de números reales “x” e “y” existe siempre un punto “P” en el plano “xy” cuya abscisa es igual a “x” y cuya ordenada es igual a “y”, que denotaremos por (x, y). Esta correspondencia es biunívoca. Definimos como los vectores unitarios coordenados i yj a aquéllos de longitud unidad orientados según los ejes coordenados.

Distancia Entre Dos Puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

Funcion Real

Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X e Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

El conjunto X se llama dominio de f. El número y se denomina la imagen de x por f y se denota f(x). El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.

La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece al dominio de f.

x = distancia dirigida desde el eje y.

f(x)= distancia dirigida desde el eje x.

Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez en caso contrario la gráfica no pertenecería a la de una función.

Funciones Pares

Una función es par si para todo número x perteneciente a su dominio, el numero -x también está en el dominio y además:

f(x)= f(-x)

Además si analizamos gráficamente una función es par si, y solo si, su grafica es simétrica con

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