PRUEBA DE HIPÓTESIS RELATIVAS A LA PROPORCIONCON UNA SOLA MUESTRA.

PRUEBA DE HIPÓTESIS RELATIVAS A LA PROPORCIONCON UNA SOLA MUESTRA.

Con muestras pequeñas, tomadas de una población Binomial se puede probar la hipótesis de que la proporción P: número de éxitos, sea igual a algún valor dado, (P0). La variable adecuada para efectuar esta prueba es la Binomial.

Para probar la hipótesis: H0: P = P0

                                    H1: P < P0, con un nivel de errorα.

Se usa la distribución Binomial para obtener el valor: P = p(X ≤ x, n,  p = P0).

Donde x: es el # de éxitos en la muestra.

Se rechaza H0, si P ≤α .

Para probar la hipótesis: H0: P = P0

                                    H1: P > P0, con un nivel de error α.

Se usa la distribución Binomial para obtener el valor: P = p(X ≥ x, n,  p = P0).

Donde x: es el # de éxitos en la muestra.

Se rechaza H0, si P ≤α .

Para probar la hipótesis: H0: P = P0

                                  H1: P ≠ P0, con un nivel de error α.

Se usa la distribución Binomial para obtener p(X ≤ x, n,  p = P0), luego se obtiene el valor: P = 2p(X ≤ x, n,  p = P0).

Donde x: es el # de éxitos en la muestra.

Se rechaza H0, si: [pic 1]> P0 y P ≤α  o  [pic 2]< P0 y P ≤α .

Ejemplo

Una empresa que vende e instala paneles solares, afirma que en una comarca de un municipio del departamento de chontales, el 10% de las casas poseen este tipo de energía alternativa. Que diría usted, si en una muestra de 16 casas tomada en dicha comarca solamente una tiene panel solar, utilice α = 0.05.

Solución

H0 : P = 0.1

H1 : P ≠ 0.1

Hallemos el valor de P , P = 2P(X ≤ 1, n = 16,  p = 0.1). Buscando en la tabla Binomial la probabilidad: P(X ≤ 1, n = 16,  p = 0.1) = F(1) = 0.5147. Entonces:

                                   P = 2(0.5147) = 1.0294.

          Si esto es cierto [pic 3]0  y  P ≤α, se rechaza la H0.

[pic 4]= 0.0625 <0.1  y 1.6216 ≤ 0.05 (la conjunción es falsa)

1. (F)    

Conclusión: Se acepta la hipótesis nula, por lo tanto la empresa que vende paneles solares tiene razón en dicha comarca, esto se afirma con un nivel de error de 0.05.

Supongamos que se desea probar, sobre la base de una

PRUEBA DE HIPÓTESIS RELATIVAS A LA PROPORCION(CON MUESTRA GRANDE).

muestra aleatoria, seleccionada de una población Binomial la hipótesis nula:

          H0: P = P0, donde: P0es el valor hipotético.

Entonces el estadístico de prueba será:

[pic 5]

Donde: p: proporción de éxitos en la muestra

           P0: Proporción hipotética de éxitos (valor hipotético)

           Q0: Q0=1- P0

a) Contra la alternativa: H1: p ≠ P0, la región crítica es:

Z < Z α/2  o   Z > Z 1-α/2

Z α/2  y Z 1-α/2: valores críticos (frontera entre la región critica y la región de

aceptación de la hipótesis nula).

b) Contra la alternativa: H1: p<P0,  la región crítica es:

Z < Z α

         Zα: valor crítico

c) Contra la alternativa:H1: p>P0, la región crítica es:

                                               Z > Z 1-α

    Z1-α: valor crítico.

En cualquiera de los casos si se cumple la relación en las regiones críticas se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se acepta.

Nota: Para considerar que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande se parte del supuesto siguiente: n es suficientemente grande si:

n p ≥ 4  y  n q ≥ 4.

Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo

Para el examen de admisión que se practica anualmente en cierta universidad, se afirma que no más del 5% de los bachilleres que lo realizan lo aprueban. En una muestra tomada al azar de 200 de estos alumnos 8 aprobaron, probar lo dicho con

...