Refresion Lineal

RECTA DE MINIMOS CUADRADOS.

8.64 Ajustar una recta de mínimos cuadrados a los datos de la tabla.

x y xy x^2 y^2

3 2 6 9 4

5 3 15 25 9

6 4 24 36 16

8 6 48 64 36

9 5 45 81 25

11 8 88 121 64

SUMATORIA 42 28 226 336 154

x como variable independiente

Con las ecuaciones normales:

∑▒〖y=an+b∑▒x〗

∑▒〖xy=a∑▒x+b∑▒x^2 〗

6a+42b=28

42a+336b=226 (aⓜ┤=ⓜ-1/3ⓜ,ⓜbⓜ=ⓜ5/7)

De donde se obtiene y=-1/3+5/7 x

x como variable dependiente

∑▒〖x=cn+b∑▒y〗

∑▒〖xy=a∑▒y+b∑▒y^2 〗

6c+28d=42

28c+154d=226 (c=1,d=9/7)

Por lo que x=1+9/7 y

8.65 Para los datos de problema anterior encuentre:

a) Los valores de y cuando x=5 y x=12

y=5/7 (5)-1/3=3.24

y=5/7 (12)-1/3=8.24

b) Los valores para x cuando y=7

x=9/7 (7)+1=10

8.66 Muestra las calificaciones finales en álgebra y física obtenidas por diez estudiantes seleccionados aleatoriamente de un gran grupo de estudiantes.

.

Algebra (x) Física (y) xy x^2 y^2

75 82 6150 5625 6724

80 78 6240 6400 6084

93 86 7998 8649 7396

65 72 4680 4225 5184

87 91 7917 7569 8281

71 80 5680 5041 6400

98 95 9310 9604 9025

68 72 4896 4624 5184

84 89 7476 7056 7921

77 74 5698 5929 5476

SUMATORIA 798 819 66045 64722 67675

(a) Representar gráficamente los datos.

(b) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos, utilizando a x como la variable independiente.

10a+798b=819

798a+64722b=66045

y=29.13+0.661x

(c) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos, utilizando a y como la variable independiente.

10c+819d=798

819c+67675d=66045

x=-14.39+1.15 y

(d) Si un estudiante obtiene una calificación de 75 en álgebra, ¿cuál es su puntuación esperada en física?

La calificación esperada en física es y=29.13+0.661(75)=78.705

(e) Si un estudiante obtiene una puntuación de 95 en física, ¿cuál es su puntuación esperada en álgebra?

La calificación esperada en algebra es x=-14.39+1.15(95)=94.89

8.67 Con referencia a Ia tabla

x y xy x^2 y^2

6 8 48 36 64

5 7 35 25 49

8 7 56 64 49

8 10 80 64 100

7 5 35 49 25

6 8 48 36 64

10 10 100 100 100

4 6 24 16 36

9 8 72 81 64

7 6 42 49 36

Sumatoria 70 75 540 520 587

Construir un diagrama de dispersión.

Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de y en x.

10a+70b=75

70a+520b=540

De donde y=1/2 x+4

Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de x sobre y.

10c+75d=70

75c+587d=540

De donde x=0.612 y+2.408

Representar Gráficamente las dos rectas de regresión de (b) y (c) sobre el diagrama de dispersión de (a).

CURVA DE REGRESION DE MINIMOS CUADRADOS

8.68 Ajuste la parábola de mínimos cuadrados.

x y x^2 x^3 x^4 xy x^2 y

0 2.4 0 0 0 0 0

1 2.1 1 1 1 2.1 2.1

2 3.2 4 8 16 6.4 12.8

3 5.6 9 27 81 16.8 50.4

4 9.3 16 64 256 37.2 148.8

5 14.6 25 125 625 73 365

6 21.9 36 216 1296 131.4 788.4

Sumatoria 21 59.1 91 441 2275 266.9 1367.5

7a+21b+91c=59.1

21a+91b+441c=266.9

91a+441b+2274c=1367.5

Así obtenemos nuestra ecuación de la parábola y=0.733 x^2-1.20 x+2.51

8.69 Las distancias de parada d (pies) de un automóvil que viaja a una velocidad u (millas por horas) en el instante que se observa el peligro. (a)Dibuje d contra v. (b) Ajustar una parábola de mínimos cuadrados de la forma d=a+bv+cv^2 a los datos (c) Estimar d cuando v=45 m/h y 80 m/h.

Velocidad v (millas por hora) 20 30 40 50 60 70

Distancia a la que se detiene, d (pies) 54 90 138 206 292 396

v d v^2 v^3 v^4 vd v^2 d

20 54 400 8000 160000 1080 21600

40 90 1600 64000 2560000 3600 144000

50 138 2500 125000 6250000 6900 345000

60 206 3600 216000 12960000 12360 741600

70 292 4900 343000 24010000 20440 1430800

80 396 6400 512000 40960000 31680 2534400

∑▒320 ∑▒1176 ∑▒19400 ∑▒1268000 ∑▒86900000 ∑▒76060 ∑▒5217400

1176=6a+320b+19400c

76060=320a+19400b+1268000c

5217400=19400a+1268000b+86900000c

De donde obtenemos que:

8.70 El número y de bacterias por unidad de volumen presentes en un cultivo después de x horas viene dado en la tabla. (o) Representa loe datos en papel semi-Iogaritmo, con Ia escala logarítmica para “y” y la escala aritmética para x.

(b)Ajustar una curva de mínimos cuadrados de la forma y=ab^x a los datos y explicar por qué esta ecuación específica da buenos resultados. (c) Comparar los valores de y obtenidos de esta ecuación con los valores reales. (d) Estimar el valor de y cuando x=7.

y=ab^x

ln⁡〖y=〗 ln⁡〖a+x ln⁡b 〗

∂/∂a ∑▒(ln⁡〖y-ln⁡〖a+x ln⁡b 〗 〗 )^2 =0

2∑▒(ln⁡〖y-ln⁡〖a+x ln⁡b 〗 〗 ) (-1/a)=0

∂/∂b ∑▒(ln⁡〖y-ln⁡〖a+x ln⁡b 〗 〗 )^2 =0

2∑▒(ln⁡〖y-ln⁡〖a+x ln⁡b 〗 〗 ) (-x/b)=0

Escriba aquí la ecuación.

Despejamos y simplificamos obteniendo:

∑▒(ln⁡〖y=ln⁡〖a+x ln⁡b 〗 〗 )

∑▒(x ln⁡〖y=x ln⁡〖a+x^2 ln⁡b 〗 〗 )

Supongamos que:

M= ln y P= ln a R= ln b

Entonces

∑▒M=∑▒P+∑▒Rx

∑▒Mx=∑▒Px+∑▒〖Rx^2 〗

REGRESION MULTIPLE.

8.71 Muestra los valores correspondientes de tres variables x, y, z. (o) Hallar la ecuación de regresión lineal de mínimos cuadrados de e sobre x, y. (b) Estimar z cuando x=10 y y=6

x y z x^2 y^2 xy xz yz

3 16 90 9 256 48 270 1440

...