TALLER 2 DE ALGEBRA LINEAL

SEGUNDO TALLER DE ALGEBRA LINEAL

Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales

–x-4y-11z=-15

x-9y+z=-8

-x+6z=6

■(-1&-4@ 1&-9@-1& 0) ■(-11&-15@ 1&-8@ 6& 6)

Fila 1 multiplicamos por -1

■( 1& 4@ 1&-9@-1& 0) ■( 11& 15@ 1&-8@ 6& 6)

A f2 le sumamos f1 x -1

■( 1& 4@ 0&-13@-1& 0) ■( 11& 15@ -10&-23@ 6& 6)

A f3 le sumamos f1 multiplicado por 1

■( 1& 4@ 0&-13@ 0& 4) ■( 11& 15@ -10&-23@ 17& 21)

A f2 la dividimos por -13

■( 1& 4@ 0& 1@ 0& 4) ■( 11& 15@ 10/13&23/13@ 17& 21)

A f3 le sumamos f2 multiplicada por -4

■( 1& 4@ 0& 1@ 0& 0) ■( 11& 15@ 10/13&23/13@ 181/13& 181/13)

A f3 la dividimos entre 181/13

■( 1& 4@ 0& 1@ 0& 0) ■( 11& 15@ 10/13&23/13@ 1& 1)

La f2 le sumamos la f3 multiplicada por – 10/13

■( 1& 4@ 0& 1@ 0& 0) ■( 11& 15@ 0&1@ 1& 1)

A f1 le sumamos la f3 multiplicada por -11

■( 1& 4@ 0& 1@ 0& 0) ■( 0& 4@ 0& 1@ 1& 1)

A f1 le sumo f2 multiplicada por -4

■( 1& 0@ 0& 1@ 0& 0) ■( 0& 0@ 0& 1@ 1& 1)

Así la solución del sistema es x=0 , y=1, z=1

-7x+2y-z+4w=10

3x-5y-2z-w=9

Este sistema no se puede resolver por falta de datos, debe haber mínimo 4 ecuaciones para resolver un sistema con 4 incógnitas.

Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A^(-1) ).

x-y-z=0

3x-y+3z=2

-x+z= -1

Expresamos en forma matricial

A= ■(1&-1&-1@3&-1&3@-1&0&1)

B= ■( 0@ 2@-1)

X= ■( x@ y@-z)

AX= B

X = A^(-1) B

■(1&-1&-1@3&-1&3@-1&0&1) ■( x@ y@-z) = ■( 0@ 2@-1)

Hallamos determinante de A para ver si existe A^(-1)

A= ■(1&-1&-1@3&-1&3@-1&0&1)

=1.■(-1&3@0&1 ) -(-1) . ■(3&3@-1&1) + (-1) . ■(3&-1@-1&0)

det⁡A=6

6≠0 osea que si existe A^(-1)

Calculamos la matriz adjunta:

A= ■(1&-1&-1@3&-1&3@-1&0&1)

C_1,1= 〖(-1)〗^(1+1) ■(-1&3@0&1)= -1

C_1,2= 〖(-1)〗^(1+2) ■(3&3@-1&1)= -6

C_1,3= 〖(-1)〗^(1+3) ■(3&-1@-1&0)= -1

C_2,1= 〖(-1)〗^(2+1) ■(-1&-1@0&1)= 1

C_2,2= 〖(-1)〗^(2+2) ■(1&-1@-1&1)= 0

C_2,3= 〖(-1)〗^(2+3) ■(1&-1@-1&0)= 1

C_3,1= 〖(-1)〗^(3+1) ■(-1&-1@-1&3)= -4

C_3,2= 〖(-1)〗^(3+2) ■(1&-1@3&3)= -6

C_3,3= 〖(-1)〗^(3+3) ■(1&-1@3&-1)= 2

C= ■(-1&-6&-1@1&0&1@-4&-6&2)

C= ■(-1&-6&-1@1&0&1@-4&-6&2)

adj (A)= ■(-1&1&-4@-6&0&-6@-1&1&2)

Calculemos la matriz inversa

A^(-1) = Adj A = ■(-1/6&1/6&-2/3@-1&0&-1@-1/6&1/6&1/3)

det A

Solución al sistema de ecuaciones

X=A^(-1) . B = ■(-1/6&1/6&-2/3@-1&0&-1@-1/6&1/6&1/3) . ■(0@2@-1) = ■(1@1@0)

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