Teoremas y propiedades

Actividad 2. Teoremas y propiedades

1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera.

3. Argumenta tu respuesta.

a. Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R.

(V) Postulado 5 sean dos planos Pi y P2 distintos tales que existen una recta R que está contenida en ambos, entonces los dos planos se intersectan entre ellos

Ahora, si tenemos del mismo modo dos planos y dos rectas cada una en un plano, y es el caso que ambas rectas se cortan en un punto, entonces podemos determinar el siguiente postulado.

Postulado P.6 Sean dos planos P1 y P2 distintos tales que se cortan en una recta R1, entonces existen dos rectas distintas R2 y R3 sobre P1 y P2 respectivamente tales que se intersecan en un punto M.

b. Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas.

Definición 1.5 Sean una recta R1 y un punto extremo de R1 y a su vez existe una recta R2 por donde El punto A donde R1 ∩ R2 = ø, se denomina a, R1 la recta paralela a R2 se denota R1|| R2

La relación que existe entre dos rectas paralelas es cortada por una recta secante, se forman 8 ángulos, cuatro internos y cuatro externos.

A

R1

R2 A

c. Todas las rectas de un plano tienen un punto central.

Definición 1.16 Se llama punto central al punto que se encuentra dentro de un segmento de recta ̅ ̅̅̅̅ tal que se divide este segmento en los segmentos ̅̅̅̅̅y̅ ̅̅̅̅donde m( ̅̅̅̅) =m( ̅̅̅̅).

Definición 1.7 Se define como un operador de orden al símbolo ≤, de forma que la relación entre dos puntos del espacio B≤ Implica que y B se encuentran en una recta del espacio E tal que A está a un lado de B.

Si dados dos puntos se cumple que uno está al lado del otro, entonces no se pude dar el caso que el mismo punto se encuentre del otro lado. Esto implica que se cumpla lo siguiente.

Postulado p.3 Para cada par de puntos y B en el espacio E, se cumple que B≤ ó B ≤.

El punto medio o punto equidistante, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquier extremos, por lo que el punto medio se encuentra en un punto equidistante

Postulado p.4 Para cada par de puntos A y B en el espacio E tales que B≤, entonces existe un tercer punto C tal que C≤ y CB≤.

Lo anterior nos indica que el punto C está entre A y B sobre la misma recta.

d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto.

Se llama ángulo agudo, si m(˂BC)= x tal que x es menor a 90º;

Definición 1.18 Sean dos ángulos ˂BC y ˂CBD adyacentes entre sí, tales que al adicionar las medidas de ambos, se obtiene la medida del ángulo ˂BD, denotado como sigue m(˂ABC)+ m (˂CBD)= m (˂ABD) .

Ejemplo Sean los ángulos ˂ABC y ˂CBD, tales que m(˂ABC)= 30° y m(˂CBD)= 60°, entonces

¿Cuánto mide la suma de ambos ángulos y cómo se clasifica el ángulo ˂ABD?

Solución. Por la definición anterior, se cumple que m(˂ABC)+ m(˂CBD)= m(˂ABD . Entonces, se tienen que m(˂ABC) + m(˂CBD)= 30° + 60° = 90° .Se sigue de esto que m(˂ABD)= 90 . Entonces podemos decir que el ángulo ˂ABD se clasifica como un ángulo recto.

D

C

60°

B 30° A

e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º.

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medida es 180°

Para obtener el ángulo suplementario β (140°) de un determinado ángulo ἀ (40°) comprendido entre (0,180°) se restara ἀ a 180° de manera que β= 180° - ἀ

ἀ β

140°

40°

f. Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R1 se llama una recta perpendicular de R2.

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90°

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

Rectas: Dos coplanarias son perpendiculares cuando al cortarse dividen al plano en cuatro regiones iguales. Cada una de los cuales es un ángulo recto, al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se llama pie de cada una de ellas.

Semirrectas: son perpendiculares, cuando forman ángulos rectos teniendo el mismo punto de origen.

Planos: Dos planos son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos diedros de 90°.

Semiplanos: Son Perpendiculares cuando forman ángulos diedros de 90°, generalmente compartiendo la misma recta de origen.

Puede existir una relación de perpendicularidad entre los 4 elementos anteriores tomados de dos en dos.

Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares.

Si dos planos al cortase forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares.

g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares.

Son los ángulos situados del mismo lado de la transversal y dentro de las paralelas. En la figura estos angulos son ˂d y ˂f , ˂a y ˂e.

˂d + ˂ f = 180° ˂a + ˂ e = 180°

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