Transfomaciones lineales

Introducción

En el siguiente ensayo se abordará el tema de la transformación lineal para darlo a conocer y comprenderlo de una manera simple para la aplicación de esta en algunas ramas de la materia e incluso dar una explicación matemática a algunos fenómenos de la vida diaria para comprender la naturaleza de estos y como se llevan a cabo.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamarán transformaciones lineales.

Se le denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

En este trabajo se buscará estudiar las propiedades de las transformaciones lineales y los diferentes tipos de esta.

Transformación Lineal

Sea  y  espacios vectoriales reales. Una transformación lineal  de  en  es una función que asigna a cada vector  en un vector único  y que satisface, para cada  y  en  y cada escalara .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

En las transformaciones lineales se han de observar tres cosas sobre la notación de estas:

1. Se escribe  para indicar que  toma el espacio vectorial real  y lo lleva al espacio vectorial real ; esto es,  es una función con  como su dominio y un subconjunto de  como su imagen.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]
2. Se escriben indistintamente  y . Denotan lo mismo; las dos se leen “ de ”. Esto es análogo a la notación funcional , que se lee “ de ”.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.

Dentro de las transformaciones lineales podemos definir los elementos siguientes:

• Núcleo o kernel de : es un subconjunto del dominio al que se denota mediante  o  y comprende todos los elementos de  tales que:[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

La transformación lineal  se llama transformación nula.[pic 31]

Naturalmente el vector nulo  cumple de todas maneras con esta condición, pero el kernel consiste en el conjunto de los vectores no nulos que también la cumplen, para una  dada.[pic 32][pic 33]

• Imagen de : es el conjunto de vectores pertenecientes a  tales que son la imagen de por lo menos algún vector en . Se denota como  y es subconjunto del espacio vectorial .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Estos elementos nos servirán para clasificar las transformaciones lineales más adelante.

Las transformaciones lineales trabajan con espacios vectoriales, formados por vectores. En muchas ocasiones asociamos los vectores con fuerzas y otras magnitudes físicas, sin embargo, en el procesamiento digital de imágenes, un pixel se puede representar por un vector.

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