Transfomaciones Lineales

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.3 La matriz de una transformación lineal

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Definición: Una transformación lineal de un espacio vectoial V en un espacio vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para todo u,v Î V y todo a,b Î R verifica: T(au + bv) = aTu + bTv.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R y todo u,v Î V, las dos condiciones: T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. Para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con 0W el vector cero de W.

Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es 0W, pues:

T0V = T(00V) = 0T0V = 0W.

Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.

Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.

Ejemplos de transformaciones lineales.

1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre R. Se define una función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si

v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:

T(av + bv¢) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] = aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.

2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ® Rm definida por:

T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.

3. La derivación de polinomios, D: R[X] ® R[X], es lineal.

4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea w Î V un vector de norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la proyección ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y T(au + bv) = [(au + bv).w]w = a(u.w)w + b(v.w)w = aTu +bTv.

5. Si V = V1 Å V2, todo v Î V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 Î V1 y v2 Î V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2, como la función T: V ® V dada por Tv = v1 para todo v Î V.

Esta función es lineal porque si u = u1 + u2, con u1 Î V1 y u2 Î V2, entonces au + bv = au1 + bv1 + au2 + bv2 y T(au + bv) = T(au1 + bv1 + au2 + bv2) = au1 + bv1 = aTu + bTv

Se señala que puede ocurrir:

V = V1 Å V2 = V1 Å W, con V2 ¹ W. En ese caso la proyección de V sobre V1 según V2, es diferente de la proyección de V sobre V1 según W, porque entonces se tendrá para algunos vectores v de V, v = v1 + v2 = v¢1 + w, con v1,v¢1 Î V1, v2 Î V2 y w Î W, donde v2 ¹ w y por lo tanto v1 ¹ v¢1. Luego la proyección de v sobre V1 según V2 es v1, mientras que la proyección de v sobre V1 según W es v¢1 ¹ v1.

Si S y T son dos transformaciones lineales de V en W, se obtiene otra transformación lineal de V en W, la suma de S y T, definiendo:

(S + T)v = Sv + Tv para todo v Î V.

Para todo a Î R y toda transformación lineal T: V ® W se define (aT)v = a(Tv), para todo v Î V. Es claro que aT también es una transformación lineal de V en W.

Es simple verificar que con estas operaciones de suma de transformaciones y producto de números por transformaciones el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial.

Dadas dos transformaciones lineales, S: V ® U y T: U ® W, tales que el conjunto de llegada de S coincide con el conjunto de partida de T, está definida la composición de las transformaciones, que está dada por (TS)v = T(Sv) para todo v Î V. Es fácil demostrar que si S y T son lineales, la composición de S con T también es lineal.

En particular, está definida la composición de cualquier par de transformaciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. La composición es en este caso una operación en el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de V en V. Este es un producto asociativo porque la composición de funciones siempre lo es.

Por ejemplo, si D: R[X] ® R[X] es la derivación de polinomios, entonces dados a,b,c Î R, D3 + aD2 + bD + cI es la transformación lineal de R[X] en R[X] que a cada polinomio f le asocia el polinomio f¢¢¢ + af¢¢ + bf¢ + cf.

Si I es la transformación identidad de V en V, S, S1, S2, y T son transformaciones lineales de V en V y a Î R, se verifican fácilmente las siguientes igualdades:

TI = IT = T, a(TS) = (aT)S = T(aS),

T(S1 + S2) = TS1 + TS2, (S1 + S2)T = S1T + S2T.

Un espacio vectorial con un producto asociativo con estas propiedades, se dice que es un álgebra sobre R.

En la próxima sección se introducirá el álgebra Mn(R) de las matrices de n filas y n columnas de números reales.

A toda transformación lineal T: V ® W, se le asocian un subespacio del dominio V y un subespacio del codominio W.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definiciones

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:

N ( T ) ( Ker T ) = { v Î V : T ( v ) = 0 w }

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

• El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. dado que T(0V) = 0W

2. Dados

3. Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) =

...