Logica Matematica

1.2.6 Proposici´on Condicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposici´on compuesta

“si p, entonces q”

se le llama “proposici´on condicional” y se nota por

p −! q

A la proposici´on “p” se le llama hip´otesis, antecedente, premisa o condici´on suficiente y a la “q”

tesis, consecuente, conclusi´on o condici´on necesaria del condicional. Una proposici´on condicional es

falsa ´unicamente cuando siendo verdad la hip´otesis, la conclusi´on es falsa (no se debe deducir una

conclusi´on falsa de una hip´otesis verdadera).

De acuerdo con esta definici´on su tabla de verdad es,

p q

V V

V F

F V

F F

p −! q

V

F

V

V

Obs´ervese que si p −! q es verdad no puede deducirse pr´acticamente nada sobre los valores de verdad

de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora

bien, si el condicional p −! q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. 

Otras formulaciones equivalentes de la proposici´on condicional p −! q son:

7

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

“p s´olo si q”.

“q si p”.

“p es una condici´on suficiente para q”.

“q es una condici´on necesaria para p”.

“q se sigue de p”.

“q a condici´on de p”.

“q es una consecuencia l´ogica de p” .

“q cuando p”.

Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.

1. Antecedente y consecuente verdaderos.

En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se eval´ue como verdadero. Por

ejemplo,

“Si como mucho, entonces engordo”

es una sentencia que se eval´ua como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el

consecuente sean verdaderos.

Ahora bien, obs´ervese que ha de evaluarse tambi´en como verdadero un condicional en el que no

exista una relaci´on de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, el condicional

“Si Garc´ıa Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matem´atico”

ha de evaluarse como verdadero y no existe relaci´on causal entre el antecedente y el consecuente.

Es por esta raz´on que no hay que confundir el condicional con la implicaci´on l´ogica.

“Garc´ıa Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matem´atico”

Es una implicaci´on falsa desde el punto de vista l´ogico. M´as adelante estudiaremos la implicaci´on

l´ogica.

2. Antecedente verdadero y consecuente falso.

En este caso parece natural decir que el condicional se eval´ua como falso. Por ejemplo, supongamos

que un pol´ıtico aspirante a Presidente del Gobierno promete:

“Si gano las elecciones, entonces bajar´e los impuestos”

Este condicional ser´a falso s´olo si ganando las elecciones, el pol´ıtico no baja los impuestos. A nadie

se le ocurrir´ıa reprochar al pol´ıtico que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones.

Obs´ervese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a

refutar la sentencia p −! q, es decir la hace falsa.

3. Antecedente falso y consecuente verdadero.

Nuestro sentido com´un nos indica que el condicional p −! q no es, en este caso, ni verdadero ni

falso. Parece il´ogico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condici´on

expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido com´un no nos

sirve, estamos en l´ogica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es

decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa.

Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto,

como dijimos anteriormente, p −! q es lo mismo que afirmar que

8

L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

“p es una condici´on suficiente para q”

es decir, p no es la ´unica condici´on posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero

siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso,

entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Qu´e ocurrir´ıa si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no ser´ıa inv´alida,

ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.

4. Antecedente y consecuente falsos.

La situaci´on es parecida a la anterior. La condici´on p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que el

consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, ser´a verdadero.

Obs´ervese, anecd´oticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial,

cuando se quiere se˜nalar que, ante un dislate, cualquier otro est´a justificado.

“Si t´u eres programador, entonces yo soy el due˜no de Microsoft”

Ejemplo 1.9 Sean p, q y r las proposiciones “El n´umero N es par”, “La salida va a la pantalla” y

“Los resultados se dirigen a la impresora”, respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de

las siguientes proposiciones.

(a) q −! p.

(b) ¬q −! r.

(c) r −! (p _ q).

Soluci´on

(a) q −! p.

− Si la salida va a la pantalla, entonces el n´umero N es par.

− La salida ir´a a la pantalla, s´olo si el n´umero N es par.

− El n´umero N es par si la salida va a la pantalla.

− Una condici´on suficiente para que el n´umero N sea par es que la salida vaya a la pantalla.

− Una condici´on necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el n´umero N sea par.

(b) ¬q −! r.

− Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora.

− La salida no va a la pantalla s´olo si los resultados se dirigen a la impresora.

− Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.

− Una condici´on suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no

vaya a la pantalla.

− Una condici´on necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan

a la impresora.

(c) r −! (p _ q).

− Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el n´umero N es par o la salida va a la

pantalla.

−

...