Relaciones de recurrencia y técnicas de conteo

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Unidad 1 - Tarea 2: Relaciones de recurrencia y técnicas de conteo

    Luis Miguel Botero Vélez

Documento de identidad: 1013666625

Junio 2021

UNAD

ECBTI

Matemáticas Discretas

Introducción

Debemos comprender analítica y gráficamente las relaciones de recurrencia y las técnicas de conteo, sus propiedades y métodos demostración a través de la solución de los siguientes ejercicios y problemas de aplicación.

Objetivos

El objetivo general de esta actividad es realizar de manera oportuna y clara, cada uno de los ejercicios solicitados luego de su selección en el foro colaborativo.

Los objetivos específicos son:

• Elaborar, presentar y analizar los ejercicios a través de las semanas de duración de la actividad.
• Desarrollar una retroalimentación oportuna durante el plazo de la actividad.
• Comprender e interiorizar los conceptos y desarrollo de la actividad.

Desarrollo

Ejercicios A

• Teoría de conteo

1. En un establecimiento educativo, 30 estudiantes toman clases de física, 20 estudiantes toman clases de química y 10 estudiantes toman ambas asignaturas. ¿Cuántos estudiantes hay en total?

Aplicamos la regla de la suma con una variante como es la siguiente, debido a que tenemos tres conjuntos n.

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= n1 + n2 - n3 =

= 30+20-10 = 40

R//: En total hay 40 estudiantes entre todos los que asisten a las clases de química y física.  

Representación gráfica mediante un diagrama de ven:

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1. Se van a producir placas para automóvil con las siguientes condiciones: cada placa empieza con dos letras tomadas del siguiente conjunto {A, B, C, D, E, F, G, H} y debe terminar con tres dígitos. Si ninguna letra o dígito puede repetirse. ¿Cuántas placas diferentes son posibles con las anteriores condiciones?

Debido a que ningún valor se puede repetir, tenemos un condicional específico conformado por 8 letras y el orden es importante se debe aplicar la propiedad de permutación sin repetición por lo que…

Según la fórmula y propiedad de permutación sin repetición

P8 = V8,8 = P(8,8) = 8P8 = 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320

R//: Podemos decir que 40.320 placas son posibles con las condicionales enunciadas.

1. El menú de una cafetería consta de dos entradas, cuatro platos principales y tres bebidas de acuerdo con la siguiente tabla:

Muestre gráfica y analíticamente cuantas posibles combinaciones diferentes de este menú existen que consten de una entrada, un plato principal y una bebida.

• Gráficamente se puede expresar de la siguiente manera gracias a un diagrama de árbol

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• Analíticamente según el principio fundamental del conteo, multiplicamos según el enunciado de este ejercicio: n1 número de entradas x n2 número de platos principales x n3 número de bebidas lo que nos da:

= 2 * 4 * 3

= 24

R//: 24 son las formas y combinaciones diferentes tiene este menú para hacer.

a) De un grupo de 12 personas se deberá escoger un grupo conformado por un presidente, un secretario y un vocal. ¿De cuantas maneras se puede formar dicho comité?  

Para hallar de cuántas maneras se puede formar el comité se debe aplicar una fórmula de variación.

n = 12 r = 3

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R//: Según la fórmula, existen 1320 formas de formar el comité.

b) Determinar de cuántas maneras pueden formarse cuatro comités distintos de un grupo de 30 personas, si los comités deben tener 4,5,8 y 6 personas, respectivamente.

Para determinar los cuatro comités diferentes se debe realizar una permutación generalizada con su fórmula:

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R//:

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Tenemos entonces que hay  maneras de conformar cuatro comités distintos con la cantidad de personas y las formas determinadas[pic 12]

a) ¿De cuantas maneras distintas puede escogerse un comité de dos mujeres y cuatro hombres de un grupo de cinco mujeres y seis hombres?

Este comité se debe hallar mediante una combinación pero que primero debemos desglosar por partes, por ejemplo, primero por mujeres y luego por hombres. Entonces tenemos que de n = 5 mujeres solo r = 2 pueden ser elegidas, entonces según la fórmula de combinación:

...