Transformada de Laplace y aplicación en la ingeniería de minas

[pic 2][pic 3]

[pic 4][pic 5]

INDICE

Introducción        3

1.        Biografía        5

2. Definición de la transformada de Laplace.        6

2.1 Linealidad de la transformada        6

3. transformada inversa de Laplace        7

3.1 Linealidad de la transformada inversa.        7

4. Fracciones parciales. Factores lineales y no lineales.        7

4.1Factores lineales no repetidos        8

4.2 Factores lineales repetidos        8

4.3 Factores cuadráticos.        8

Introducción

La transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de otras transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert y la transformada de Mellin, entre otras. Estás transformaciones están definidas por una integral errónea y cambian una función en una variable a otra función en otra variable. Las Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales se pueden resolver utilizando la transformada de Laplace. Aunque algunos tipos de ED se pueden resolver con coeficientes variables, se usan más comúnmente para resolver problemas con coeficientes constantes. El conocimiento de las condiciones iniciales al mismo ED es un requisito adicional. Cuando la función en la variable independiente que aparece en el ED es uno, su mayor ventaja se hace evidente.

OBJETIVOS

 Objetivo General

∙ Determinar la las diferentes funciones y utilidades que tiene las transformaciones de Laplace

Objetivos Específicos 

∙ Investigar las diferentes aplicaciones que tiene las la transformaciones de Laplace

 ∙ Identificar las formas que utiliza Laplace para resolver ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniera de minas.

1. Biografía

[pic 6]

Figura 1: PIERRE SIMON LAPLACE

Fuente: investigacionyciencia.com

Pierre Simón Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumontéauges (Francia). Como hijo de un campesino, inicialmente tuvo la oportunidad de estudiar en una escuela benedictina y allí continuó su educación en una escuela militar debido a su talento.

        Fue un matemático y astrónomo francés tan famoso que se le llegó a conocer como el Newton de Francia. Inició sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a D´ Alembert, el cual había quedado impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecánica, pudo trasladarse a la capital.

Entre 1771 y 1789 desarrolló gran parte de su trabajo sobre la astronomía, especialmente sobre las desigualdades planetarias, continuando con algunos escritos sobre cálculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Su mayor aporte lo tuvo en el periodo de 1784-1787 con la determinación de la atracción de un esferoide sobre una partícula situada en su exterior, para lo cual introdujo el análisis de armónicos o coeficientes de Laplace y el concepto de potencial (Biografía de Pierre-Simon Laplace, 2022).

En 1814, publicó un ensayo sobre probabilidades, el cual, le serviría de base para la segunda introducción de su “Teoría analítica de las probabilidades”, donde incluyó una exposición del método de los mínimos cuadrados, base de toda la teoría de errores (Biografía de Pierre-Simon Laplace, 2022).

2. Definición de la transformada de Laplace.

Definición 1. Sea  una función en [0, ∞). Posteriormente se  dice que la integral.[pic 7]

                                                                                (1)[pic 8]

Es la transformada de la place de  siempre y cuando la integral converja.[pic 9]

...