ANÁLISIS DIMENSIONAL. FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales con las derivadas.

FINES DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL

1. Sirven para expresar las magnitudes derivadas en función con las fundamentales.
2. Sirven para verificar la veracidad de una fórmula física.
3. Sirven para deducir las fórmulas a partir de experimentos.

ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para relacionar las magnitudes derivadas en función de las fundamentales.

[pic 2]

        Notación        A: se lee letra “A”

        [A]: Ecuación dimensional de A

En su forma general una ecuación dimensional se escribe de la siguiente manera:

[pic 3]

[x] = La. Mb.Tc. θd. Ie. Jf. Ng

Se lee: “formula dimensional de “x”

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

En toda ecuación dimensional para que se encuentre correctamente escrita, todos los términos de la ecuación deben tener las mismas dimensiones.

Ejemplo:

Si:        [pic 4]

[pic 5]

A = B + C – D        [A] = [B] = [C] = [D]

Aplicación:

En la cinemática (M.R.U.V.) se usa con frecuencia la ecuación:  [pic 6]

Donde:

        X = posición (m)

        Vo = velocidad (m/s)

        a = aceleración (m/s)

        t = tiempo (s)

Si reemplazamos sus unidades respectivas, tendremos:

        X = Xo  +  Vo . t   + 1/2 a . t2

        m = m  +  m/s . s + m/s2 . s2

        m = m  +     m      +    m

Luego todos los términos tienen unidad de longitud.

1ra. Propiedad: Todo número, ángulo o función trigonométrica que se encuentra como coeficiente, tiene como ecuación dimensional igual a la unidad.

Ejemplo:        Ec. Dimensional

1) 20kg        → [20kg] = 1

2) Sen30°        → [Sen30°] =1

3) π/5                → [π/5] = 1

2da. Propiedad: Todo número o función trigonométrica que se encuentra como exponente conserva su valor.

Ejemplo:      Ec. Dimensional

1) 20senx        → [20]senx = [1]senx = 1

2) P3        → [P]3 = (ML–1T–2)3 = M3L–3T–6

Donde: “P” es presión.

3ra. Propiedad: Las ecuaciones dimensionales no cumplen con las leyes de la suma y la resta.

Ejemplo:                

                L + L + L = L

MT–2 – MT–2 = MT–2

Ejemplo de algunas ecuaciones dimensionales son:

[pic 34]

1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta. Halla las dimensiones de “B”.

[pic 35]

Donde:        P = presión; L = longitud

        m = Masa

Solución:

Por teoría la Ec. dimensional de un número constante es igual a la unidad. Luego E; x; A son constantes tomando las expresiones dimensionales.

[pic 36]

Reemplazando su valor dimensional.

P  = Presión: ML –1 T –2

m = Masa: M

L  = Long. : L

[pic 37]

B2 =         M2L–2T –2

Luego : [B] = (M2L –2 T –2)½ 

        → ∴ [B] = ML–1T –1

1. Si la ecuación está correctamente escrita halla la dimensión de A.

F = [pic 38]

Donde F = fuerza;        P = presión

Solución:

[pic 39]

        [F] =

[pic 40]

[F] =                           ;sabemos que [π] = 1

[F] = MLT –2

        en (1)

[P] = ML –1T –2

Luego:[pic 41]

MLT –2 =

M2L0T –4 = [A]2

∴ [A] = (M2T –4)1/2 = MT –2

1. Si la ecuación es homogénea halla las dimensiones de “x”.[pic 42]

x =

Donde:

A = área        Q = caudal        t = temperatura

V = velocidad

Solución:

[pic 43]

[x] =          … (1)

• [A] = L2[pic 44]
• [Q] = L3T –1[pic 45]
• [t] = θ
• [V] = LT –1

[pic 46]

[x] =         = L4θ

1. Si la Ecuación está correctamente escrita halla las dimensiones de “y”.

Vf2 = Vo2 + 2a . y

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