APUNTES DE GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. CONCEPTOS BÁSICOS

Un segmento dirigido es aquella porción de recta que posee además de una longitud, una dirección o sentido, esto es, un punto inicial y un punto final.

B[pic 3]

A

1. Plano cartesiano

A cada punto de un plano le asociamos una pareja de números (x,y), llamados coordenadas rectangulares o cartesianas. Estas coordenadas son simplemente las distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal, llamada eje X, y la otra vertical, llamada eje Y. El punto de intersección de los ejes se llama origen, y se representa por la letra O.

La abscisa de un punto es la distancia dirigida del eje vertical (eje Y) al punto y se representa por x.

La ordenada de un punto es la distancia dirigida del eje horizontal (eje X) al punto y se representa por y.[pic 4]

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro secciones, llamadas cuadrantes; éstos se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj empezando con el cuadrante superior derecho en el que todos los puntos tienen las coordenadas positivas.

[pic 5]

EJERCICIOS

1. Identifica la figura geométrica formada al unir con segmentos rectilíneos los puntos:

a)        M(1,0), N(6, 0), O(4, 4), P(-1,4)

b)        F(2, 7), G(4,4), H(7,7), I(4, 11)

c)        A(0,0), B(8,0), C(5,3), D(0,3)

d)        P(0,   5 ), Q(   5 ,0), R(0,0)[pic 6][pic 7]

1. Describe las características de las coordenadas de:

1. Un punto cualquiera del eje X que no sea el origen
2. Un punto cualquiera de la parte negativa del eje Y
3. Un punto cualquiera en el segundo cuadrante
4. Un punto cualquiera en el tercer cuadrante
5. Un punto cualquiera en el cuarto cuadrante

1. Distancia entre dos puntos

La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está dada por la fórmula:

d =        (x  - x  )2[pic 8][pic 9][pic 10]

+ (y  - y  )2

1. Punto medio entre dos puntos

Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son

(x1, y1) y (x2, y2) son:

x = x1[pic 11]

+ x2  ,

2

y = y1

+ y2

2

1. Pendiente de una recta[pic 12]

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

• La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Por lo tanto, podemos escribir:

m = tan α

• Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es:

m = y1 - y2  ,[pic 13]

x  ≠ x[pic 14]

x1 - x2

EJERCICIOS

1. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1), (0, 3), (3, 4), (4, -1).

1. Hallar el valor de y si la distancia entre (7, 1) y (3, y) es 5.

1. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos: (3, 3), (6, 2), (8, -2).

1. Los vértices de un triángulo son A(3, 8), B(2, -1) y C(6, -1). Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.

1. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es

(4, 3). Hallar el otro extremo.

1. Encontrar las coordenadas de P que está sobre la recta AB, si P está a una distancia doble de B(-3, 1) que de A(2, 2). ¿Cuál es el punto medio de AB?

1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

(-3, 2) y (7, -3).

1. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.

1. La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3, 2) es igual a puntos sobre la recta que equidisten 5 unidades de A.

3

. Situar dos[pic 15]

4

1. Por medio de pendientes demostrar que los puntos A(-3, 4), B(3,2)  y C(6, 1)  son colineales.

1. RECTAS

1. Ecuaciones de la recta (diferentes modelos)

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